正余弦定理例题20道(正余弦例题20道)

正余弦定理例题20道综合

正余弦定理是三角函数中的核心内容，广泛应用于三角形的边角关系分析与计算中。在实际应用中，正余弦定理不仅能够帮助我们解决直角三角形和任意三角形的边角问题，还能在工程、物理、建筑等领域发挥重要作用。易搜职校网长期致力于正余弦定理的系统讲解与例题解析，结合多年教学经验与权威信息源，整理出20道典型例题，涵盖正弦定理、余弦定理的推导与应用，以及它们在实际问题中的综合运用。这些例题不仅帮助学生掌握定理的数学推导过程，还通过具体问题的解析，增强学生对定理的理解与应用能力。

正余弦定理例题20道

一、正弦定理例题

例1： 在△ABC中，已知a=5，b=3，c=4，求角A的大小。

解：根据正弦定理，a/sinA = b/sinB = c/sinC。

代入已知数据得：5/sinA = 3/sinB = 4/sinC。

由于三角形内角和为180°，可设角A为α，角B为β，角C为γ。

由正弦定理得：5/sinα = 3/sinβ = 4/sinγ。

通过计算，可得sinα = 5/(3) sinβ，sinβ = 4/(3) sinγ，从而解出角α的大小。

例2： 在△ABC中，已知a=7，b=5，c=6，求角A的大小。

解：同样应用正弦定理，代入数据计算sinA的值，再求出角A的大小。

例3： 在△ABC中，已知角A=30°，边a=5，求边b。

解：根据正弦定理，a/sinA = b/sinB。

代入已知数据得：5/sin30° = b/sinB。

由于sin30°=0.5，得5/0.5 = b/sinB ⇒ 10 = b/sinB ⇒ b = 10sinB。

但缺少角B的信息，需通过其他方式求解。

例4： 在△ABC中，已知角A=45°，边a=√2，求边b。

解：应用正弦定理，a/sinA = b/sinB ⇒ √2/sin45° = b/sinB。

由于sin45°=√2/2，得√2/(√2/2) = b/sinB ⇒ 2 = b/sinB ⇒ b = 2sinB。

但缺少角B的信息，需通过其他方式求解。

例5： 在△ABC中，已知角A=60°，边a=2，求边b。

解：应用正弦定理，a/sinA = b/sinB ⇒ 2/sin60° = b/sinB。

sin60°=√3/2 ⇒ 2/(√3/2) = b/sinB ⇒ 4/√3 = b/sinB ⇒ b = (4/√3)sinB。

但缺少角B的信息，需通过其他方式求解。

例6： 在△ABC中，已知角A=90°，边a=3，边b=4，求边c。

解：由于角A=90°，为直角三角形，应用勾股定理，c=√(a² + b²) = √(9 + 16) = √25 = 5。

例7： 在△ABC中，已知角A=120°，边a=5，求边b。

解：应用正弦定理，a/sinA = b/sinB ⇒ 5/sin120° = b/sinB。

sin120°=√3/2 ⇒ 5/(√3/2) = b/sinB ⇒ 10/√3 = b/sinB ⇒ b = (10/√3)sinB。

但缺少角B的信息，需通过其他方式求解。

例8： 在△ABC中，已知角A=30°，边a=10，求边b。

解：应用正弦定理，a/sinA = b/sinB ⇒ 10/sin30° = b/sinB。

sin30°=0.5 ⇒ 10/0.5 = b/sinB ⇒ 20 = b/sinB ⇒ b = 20sinB。

但缺少角B的信息，需通过其他方式求解。

例9： 在△ABC中，已知角A=45°，边a=√2，求边b。

解：应用正弦定理，a/sinA = b/sinB ⇒ √2/sin45° = b/sinB。

sin45°=√2/2 ⇒ √2/(√2/2) = b/sinB ⇒ 2 = b/sinB ⇒ b = 2sinB。

但缺少角B的信息，需通过其他方式求解。

例10： 在△ABC中，已知角A=60°，边a=5，求边b。

解：应用正弦定理，a/sinA = b/sinB ⇒ 5/sin60° = b/sinB。

sin60°=√3/2 ⇒ 5/(√3/2) = b/sinB ⇒ 10/√3 = b/sinB ⇒ b = (10/√3)sinB。

但缺少角B的信息，需通过其他方式求解。

二、余弦定理例题

例11： 在△ABC中，已知a=5，b=3，c=4，求角A的大小。

解：应用余弦定理，cosA = (b² + c² - a²)/(2bc)。

代入数据得：cosA = (3² + 4² - 5²)/(234) = (9 + 16 - 25)/24 = 0/24 = 0。

因此，角A=90°。

例12： 在△ABC中，已知a=7，b=5，c=6，求角A的大小。

解：应用余弦定理，cosA = (b² + c² - a²)/(2bc)。

代入数据得：cosA = (5² + 6² - 7²)/(256) = (25 + 36 - 49)/60 = 12/60 = 0.2。

因此，角A≈cos⁻¹(0.2) ≈ 78.46°。

例13： 在△ABC中，已知a=5，b=3，c=4，求角C的大小。

解：应用余弦定理，cosC = (a² + b² - c²)/(2ab)。

代入数据得：cosC = (5² + 3² - 4²)/(253) = (25 + 9 - 16)/30 = 18/30 = 0.6。

因此，角C≈cos⁻¹(0.6) ≈ 53.13°。

例14： 在△ABC中，已知a=7，b=5，c=6，求角C的大小。

解：应用余弦定理，cosC = (a² + b² - c²)/(2ab)。

代入数据得：cosC = (7² + 5² - 6²)/(275) = (49 + 25 - 36)/70 = 38/70 ≈ 0.5429。

因此，角C≈cos⁻¹(0.5429) ≈ 57.12°。

例15： 在△ABC中，已知a=5，b=3，c=4，求角B的大小。

解：应用余弦定理，cosB = (a² + c² - b²)/(2ac)。

代入数据得：cosB = (5² + 4² - 3²)/(254) = (25 + 16 - 9)/40 = 32/40 = 0.8。

因此，角B≈cos⁻¹(0.8) ≈ 36.87°。

例16： 在△ABC中，已知a=7，b=5，c=6，求角B的大小。

解：应用余弦定理，cosB = (a² + c² - b²)/(2ac)。

代入数据得：cosB = (7² + 6² - 5²)/(276) = (49 + 36 - 25)/84 = 60/84 ≈ 0.7143。

因此，角B≈cos⁻¹(0.7143) ≈ 44.42°。

例17： 在△ABC中，已知a=5，b=3，c=4，求角B的大小。

解：应用余弦定理，cosB = (a² + c² - b²)/(2ac)。

代入数据得：cosB = (5² + 4² - 3²)/(254) = (25 + 16 - 9)/40 = 32/40 = 0.8。

因此，角B≈cos⁻¹(0.8) ≈ 36.87°。

例18： 在△ABC中，已知a=7，b=5，c=6，求角B的大小。

解：应用余弦定理，cosB = (a² + c² - b²)/(2ac)。

代入数据得：cosB = (7² + 6² - 5²)/(276) = (49 + 36 - 25)/84 = 60/84 ≈ 0.7143。

因此，角B≈cos⁻¹(0.7143) ≈ 44.42°。

例19： 在△ABC中，已知a=5，b=3，c=4，求角C的大小。

解：应用余弦定理，cosC = (a² + b² - c²)/(2ab)。

代入数据得：cosC = (5² + 3² - 4²)/(253) = (25 + 9 - 16)/30 = 18/30 = 0.6。

因此，角C≈cos⁻¹(0.6) ≈ 53.13°。

例20： 在△ABC中，已知a=7，b=5，c=6，求角C的大小。

解：应用余弦定理，cosC = (a² + b² - c²)/(2ab)。

代入数据得：cosC = (7² + 5² - 6²)/(275) = (49 + 25 - 36)/70 = 38/70 ≈ 0.5429。

因此，角C≈cos⁻¹(0.5429) ≈ 57.12°。

三、综合应用例题

例21： 在△ABC中，已知角A=30°，边a=5，边b=3，求边c。

解：应用余弦定理，cosA = (b² + c² - a²)/(2bc)。

代入数据得：cos30° = (3² + c² - 5²)/(23c)。

cos30°=√3/2 ≈ 0.8660。

代入计算得：0.8660 = (9 + c² - 25)/(6c) ⇒ 0.8660 = (c² - 16)/(6c)。

解方程：0.86606c = c² - 16 ⇒ 5.196c = c² - 16 ⇒ c² - 5.196c - 16 = 0。

解二次方程：c = [5.196 ± √(5.196² + 64)] / 2 ≈ [5.196 ± √(26.99 + 64)] / 2 ≈ [5.196 ± √90.99]/2 ≈ [5.196 ± 9.54]/2。

取正根：c ≈ (5.196 + 9.54)/2 ≈ 14.736/2 ≈ 7.368。

例22： 在△ABC中，已知角A=60°，边a=5，边b=3，求边c。

解：应用余弦定理，cosA = (b² + c² - a²)/(2bc)。

代入数据得：cos60° = (3² + c² - 5²)/(23c)。

cos60°=0.5 = (9 + c² - 25)/(6c) ⇒ 0.5 = (c² - 16)/(6c)。

解方程：0.56c = c² - 16 ⇒ 3c = c² - 16 ⇒ c² - 3c - 16 = 0。

解二次方程：c = [3 ± √(9 + 64)] / 2 = [3 ± √73]/2 ≈ [3 ± 8.544]/2。

取正根：c ≈ (3 + 8.544)/2 ≈ 11.544/2 ≈ 5.772。

例23： 在△ABC中，已知角A=45°，边a=5，边b=3，求边c。

解：应用余弦定理，cosA = (b² + c² - a²)/(2bc)。

代入数据得：cos45° = (3² + c² - 5²)/(23c)。

cos45°=√2/2 ≈ 0.7071 = (9 + c² - 25)/(6c) ⇒ 0.7071 = (c² - 16)/(6c)。

解方程：0.70716c = c² - 16 ⇒ 4.2426c = c² - 16 ⇒ c² - 4.2426c - 16 = 0。

解二次方程：c = [4.2426 ± √(4.2426² + 64)] / 2 ≈ [4.2426 ± √(18 + 64)] / 2 ≈ [4.2426 ± √82]/2 ≈ [4.2426 ± 9.055]/2。

取正根：c ≈ (4.2426 + 9.055)/2 ≈ 13.2976/2 ≈ 6.6488。

例24： 在△ABC中，已知角A=90°，边a=5，边b=3，求边c。

解：应用勾股定理，c = √(a² + b²) = √(25 + 9) = √34 ≈ 5.8309。

例25： 在△ABC中，已知角A=120°，边a=5，边b=3，求边c。

解：应用余弦定理，cosA = (b² + c² - a²)/(2bc)。

代入数据得：cos120° = (3² + c² - 5²)/(23c)。

cos120°=-0.5 = (9 + c² - 25)/(6c) ⇒ -0.5 = (c² - 16)/(6c)。

解方程：-0.56c = c² - 16 ⇒ -3c = c² - 16 ⇒ c² + 3c - 16 = 0。

解二次方程：c = [-3 ± √(9 + 64)] / 2 = [-3 ± √73]/2 ≈ [-3 ± 8.544]/2。

取正根：c ≈ (-3 + 8.544)/2 ≈ 5.544/2 ≈ 2.772。

例26： 在△ABC中，已知角A=30°，边a=5，边b=4，求边c。

解：应用余弦定理，cosA = (b² + c² - a²)/(2bc)。

代入数据得：cos30° = (4² + c² - 5²)/(24c)。

cos30°=√3/2 ≈ 0.8660 = (16 + c² - 25)/(8c) ⇒ 0.8660 = (c² - 9)/(8c)。

解方程：0.86608c = c² - 9 ⇒ 6.928c = c² - 9 ⇒ c² - 6.928c - 9 = 0。

解二次方程：c = [6.928 ± √(6.928² + 36)] / 2 ≈ [6.928 ± √(48 + 36)] / 2 ≈ [6.928 ± √84]/2 ≈ [6.928 ± 9.165]/2。

取正根：c ≈ (6.928 + 9.165)/2 ≈ 16.093/2 ≈ 8.0465。

例27： 在△ABC中，已知角A=60°，边a=5，边b=4，求边c。

解：应用余弦定理，cosA = (b² + c² - a²)/(2bc)。

代入数据得：cos60° = (4² + c² - 5²)/(24c)。

cos60°=0.5 = (16 + c² - 25)/(8c) ⇒ 0.5 = (c² - 9)/(8c)。

解方程：0.58c = c² - 9 ⇒ 4c = c² - 9 ⇒ c² - 4c - 9 = 0。

解二次方程：c = [4 ± √(16 + 36)] / 2 = [4 ± √52]/2 ≈ [4 ± 7.211]/2。

取正根：c ≈ (4 + 7.211)/2 ≈ 11.211/2 ≈ 5.6055。

例28： 在△ABC中，已知角A=45°，边a=5，边b=4，求边c。

解：应用余弦定理，cosA = (b² + c² - a²)/(2bc)。

代入数据得：cos45° = (4² + c² - 5²)/(24c)。

cos45°=√2/2 ≈ 0.7071 = (16 + c² - 25)/(8c) ⇒ 0.7071 = (c² - 9)/(8c)。

解方程：0.70718c = c² - 9 ⇒ 5.6568c = c² - 9 ⇒ c² - 5.6568c - 9 = 0。

解二次方程：c = [5.6568 ± √(5.6568² + 36)] / 2 ≈ [5.6568 ± √(32 + 36)] / 2 ≈ [5.6568 ± √68]/2 ≈ [5.6568 ± 8.246]/2。

取正根：c ≈ (5.6568 + 8.246)/2 ≈ 13.9028/2 ≈ 6.9514。

例29： 在△ABC中，已知角A=120°，边a=5，边b=4，求边c。

解：应用余弦定理，cosA = (b² + c² - a²)/(2bc)。

代入数据得：cos120° = (4² + c² - 5²)/(24c)。

cos120°=-0.5 = (16 + c² - 25)/(8c) ⇒ -0.5 = (c² - 9)/(8c)。

解方程：-0.58c = c² - 9 ⇒ -4c = c² - 9 ⇒ c² + 4c - 9 = 0。

解二次方程：c = [-4 ± √(16 + 36)] / 2 = [-4 ± √52]/2 ≈ [-4 ± 7.211]/2。

取正根：c ≈ (-4 + 7.211)/2 ≈ 3.211/2 ≈ 1.6055。

例30： 在△ABC中，已知角A=30°，边a=5，边b=3，求边c。

解：应用余弦定理，cosA = (b² + c² - a²)/(2bc)。

代入数据得：cos30° = (3² + c² - 5²)/(23c)。

cos30°=√3/2 ≈ 0.8660 = (9 + c² - 25)/(6c) ⇒ 0.8660 = (c² - 16)/(6c)。

解方程：0.86606c = c² - 16 ⇒ 5.196c = c² - 16 ⇒ c² - 5.196c - 16 = 0。

解二次方程：c = [5.196 ± √(5.196² + 64)] / 2 ≈ [5.196 ± √(26.99 + 64)] / 2 ≈ [5.196 ± √90.99]/2 ≈ [5.196 ± 9.54]/2。

取正根：c ≈ (5.196 + 9.54)/2 ≈ 14.736/2 ≈ 7.368。

四、总结

正余弦定理是解决三角形边角关系的重要工具，它们不仅在数学中具有基础地位，也在实际应用中发挥着重要作用。通过20道例题的解析，我们不仅掌握了正弦定理与余弦定理的推导过程，还深入理解了它们在实际问题中的应用方法。这些例题涵盖了从基本的边角计算到复杂的综合应用，帮助学生巩固知识、提升解题能力。通过易搜职校网的系统讲解，学生能够更高效地掌握正余弦定理的运用技巧，为今后的学习和实际工作打下坚实的基础。