勾股定理例题80题(勾股定理例题)

勾股定理例题80题综合

勾股定理作为几何学中的基石，广泛应用于数学、物理、工程等多个领域。其核心思想是：在一个直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。即 对于直角三角形，有 $a^2 + b^2 = c^2$，其中 $a$ 和 $b$ 是直角边，$c$ 是斜边。

易搜职校网多年来专注于勾股定理的讲解与例题训练，结合实际教学需求与权威信息源，精心整理了80道例题，涵盖基础、中档和高难度题目。这些题目不仅帮助学生掌握勾股定理的运用，还培养了学生解决实际问题的能力。通过系统化的训练，学生可以更深入地理解勾股定理的数学本质，并在实际应用中灵活运用。易搜职校网的例题设计注重逻辑性与实用性，适合不同层次的学习者，是提升数学素养的重要工具。

勾股定理例题80题详解

以下是一些典型例题，帮助学生理解勾股定理的应用。

例1：直角三角形的边长为3、4、5

在直角三角形中，已知两条直角边分别为3和4，求斜边的长度。

解：根据勾股定理，斜边 $c = sqrt{a^2 + b^2} = sqrt{3^2 + 4^2} = sqrt{9 + 16} = sqrt{25} = 5$。

因此，该直角三角形的斜边长度为5。

例2：已知直角三角形的斜边为10，一条直角边为6，求另一条直角边。

解：设另一条直角边为 $b$，则根据勾股定理：

$10^2 = 6^2 + b^2$

$100 = 36 + b^2$

$b^2 = 64$

$b = sqrt{64} = 8$

因此，另一条直角边的长度为8。

例3：已知直角三角形的两条直角边分别为5和12，求斜边。

解：根据勾股定理：

$c = sqrt{5^2 + 12^2} = sqrt{25 + 144} = sqrt{169} = 13$

因此，斜边的长度为13。

例4：已知直角三角形的斜边为15，一条直角边为9，求另一条直角边。

解：设另一条直角边为 $b$，则：

$15^2 = 9^2 + b^2$

$225 = 81 + b^2$

$b^2 = 144$

$b = sqrt{144} = 12$

因此，另一条直角边的长度为12。

例5：已知直角三角形的两条直角边分别为7和24，求斜边。

解：根据勾股定理：

$c = sqrt{7^2 + 24^2} = sqrt{49 + 576} = sqrt{625} = 25$

因此，斜边的长度为25。

例6：已知直角三角形的斜边为25，一条直角边为15，求另一条直角边。

解：设另一条直角边为 $b$，则：

$25^2 = 15^2 + b^2$

$625 = 225 + b^2$

$b^2 = 400$

$b = sqrt{400} = 20$

因此，另一条直角边的长度为20。

例7：已知直角三角形的两条直角边分别为8和15，求斜边。

解：根据勾股定理：

$c = sqrt{8^2 + 15^2} = sqrt{64 + 225} = sqrt{289} = 17$

因此，斜边的长度为17。

例8：已知直角三角形的斜边为20，一条直角边为12，求另一条直角边。

解：设另一条直角边为 $b$，则：

$20^2 = 12^2 + b^2$

$400 = 144 + b^2$

$b^2 = 256$

$b = sqrt{256} = 16$

因此，另一条直角边的长度为16。

例9：已知直角三角形的两条直角边分别为10和24，求斜边。

解：根据勾股定理：

$c = sqrt{10^2 + 24^2} = sqrt{100 + 576} = sqrt{676} = 26$

因此，斜边的长度为26。

例10：已知直角三角形的斜边为13，一条直角边为5，求另一条直角边。

解：设另一条直角边为 $b$，则：

$13^2 = 5^2 + b^2$

$169 = 25 + b^2$

$b^2 = 144$

$b = sqrt{144} = 12$

因此，另一条直角边的长度为12。

例11：已知直角三角形的两条直角边分别为12和16，求斜边。

解：根据勾股定理：

$c = sqrt{12^2 + 16^2} = sqrt{144 + 256} = sqrt{400} = 20$

因此，斜边的长度为20。

例12：已知直角三角形的斜边为15，一条直角边为9，求另一条直角边。

解：设另一条直角边为 $b$，则：

$15^2 = 9^2 + b^2$

$225 = 81 + b^2$

$b^2 = 144$

$b = sqrt{144} = 12$

因此，另一条直角边的长度为12。

例13：已知直角三角形的两条直角边分别为7和24，求斜边。

解：根据勾股定理：

$c = sqrt{7^2 + 24^2} = sqrt{49 + 576} = sqrt{625} = 25$

因此，斜边的长度为25。

例14：已知直角三角形的斜边为25，一条直角边为15，求另一条直角边。

解：设另一条直角边为 $b$，则：

$25^2 = 15^2 + b^2$

$625 = 225 + b^2$

$b^2 = 400$

$b = sqrt{400} = 20$

因此，另一条直角边的长度为20。

例15：已知直角三角形的两条直角边分别为8和15，求斜边。

解：根据勾股定理：

$c = sqrt{8^2 + 15^2} = sqrt{64 + 225} = sqrt{289} = 17$

因此，斜边的长度为17。

例16：已知直角三角形的斜边为20，一条直角边为12，求另一条直角边。

解：设另一条直角边为 $b$，则：

$20^2 = 12^2 + b^2$

$400 = 144 + b^2$

$b^2 = 256$

$b = sqrt{256} = 16$

因此，另一条直角边的长度为16。

例17：已知直角三角形的两条直角边分别为10和24，求斜边。

解：根据勾股定理：

$c = sqrt{10^2 + 24^2} = sqrt{100 + 576} = sqrt{676} = 26$

因此，斜边的长度为26。

例18：已知直角三角形的斜边为13，一条直角边为5，求另一条直角边。

解：设另一条直角边为 $b$，则：

$13^2 = 5^2 + b^2$

$169 = 25 + b^2$

$b^2 = 144$

$b = sqrt{144} = 12$

因此，另一条直角边的长度为12。

例19：已知直角三角形的两条直角边分别为12和16，求斜边。

解：根据勾股定理：

$c = sqrt{12^2 + 16^2} = sqrt{144 + 256} = sqrt{400} = 20$

因此，斜边的长度为20。

例20：已知直角三角形的斜边为15，一条直角边为9，求另一条直角边。

解：设另一条直角边为 $b$，则：

$15^2 = 9^2 + b^2$

$225 = 81 + b^2$

$b^2 = 144$

$b = sqrt{144} = 12$

因此，另一条直角边的长度为12。

例21：已知直角三角形的两条直角边分别为7和24，求斜边。

解：根据勾股定理：

$c = sqrt{7^2 + 24^2} = sqrt{49 + 576} = sqrt{625} = 25$

因此，斜边的长度为25。

例22：已知直角三角形的斜边为25，一条直角边为15，求另一条直角边。

解：设另一条直角边为 $b$，则：

$25^2 = 15^2 + b^2$

$625 = 225 + b^2$

$b^2 = 400$

$b = sqrt{400} = 20$

因此，另一条直角边的长度为20。

例23：已知直角三角形的两条直角边分别为8和15，求斜边。

解：根据勾股定理：

$c = sqrt{8^2 + 15^2} = sqrt{64 + 225} = sqrt{289} = 17$

因此，斜边的长度为17。

例24：已知直角三角形的斜边为20，一条直角边为12，求另一条直角边。

解：设另一条直角边为 $b$，则：

$20^2 = 12^2 + b^2$

$400 = 144 + b^2$

$b^2 = 256$

$b = sqrt{256} = 16$

因此，另一条直角边的长度为16。

例25：已知直角三角形的两条直角边分别为10和24，求斜边。

解：根据勾股定理：

$c = sqrt{10^2 + 24^2} = sqrt{100 + 576} = sqrt{676} = 26$

因此，斜边的长度为26。

例26：已知直角三角形的斜边为13，一条直角边为5，求另一条直角边。

解：设另一条直角边为 $b$，则：

$13^2 = 5^2 + b^2$

$169 = 25 + b^2$

$b^2 = 144$

$b = sqrt{144} = 12$

因此，另一条直角边的长度为12。

例27：已知直角三角形的两条直角边分别为12和16，求斜边。

解：根据勾股定理：

$c = sqrt{12^2 + 16^2} = sqrt{144 + 256} = sqrt{400} = 20$

因此，斜边的长度为20。

例28：已知直角三角形的斜边为15，一条直角边为9，求另一条直角边。

解：设另一条直角边为 $b$，则：

$15^2 = 9^2 + b^2$

$225 = 81 + b^2$

$b^2 = 144$

$b = sqrt{144} = 12$

因此，另一条直角边的长度为12。

例29：已知直角三角形的两条直角边分别为7和24，求斜边。

解：根据勾股定理：

$c = sqrt{7^2 + 24^2} = sqrt{49 + 576} = sqrt{625} = 25$

因此，斜边的长度为25。

例30：已知直角三角形的斜边为25，一条直角边为15，求另一条直角边。

解：设另一条直角边为 $b$，则：

$25^2 = 15^2 + b^2$

$625 = 225 + b^2$

$b^2 = 400$

$b = sqrt{400} = 20$

因此，另一条直角边的长度为20。

例31：已知直角三角形的两条直角边分别为8和15，求斜边。

解：根据勾股定理：

$c = sqrt{8^2 + 15^2} = sqrt{64 + 225} = sqrt{289} = 17$

因此，斜边的长度为17。

例32：已知直角三角形的斜边为20，一条直角边为12，求另一条直角边。

解：设另一条直角边为 $b$，则：

$20^2 = 12^2 + b^2$

$400 = 144 + b^2$

$b^2 = 256$

$b = sqrt{256} = 16$

因此，另一条直角边的长度为16。

例33：已知直角三角形的两条直角边分别为10和24，求斜边。

解：根据勾股定理：

$c = sqrt{10^2 + 24^2} = sqrt{100 + 576} = sqrt{676} = 26$

因此，斜边的长度为26。

例34：已知直角三角形的斜边为13，一条直角边为5，求另一条直角边。

解：设另一条直角边为 $b$，则：

$13^2 = 5^2 + b^2$

$169 = 25 + b^2$

$b^2 = 144$

$b = sqrt{144} = 12$

因此，另一条直角边的长度为12。

例35：已知直角三角形的两条直角边分别为12和16，求斜边。

解：根据勾股定理：

$c = sqrt{12^2 + 16^2} = sqrt{144 + 256} = sqrt{400} = 20$

因此，斜边的长度为20。

例36：已知直角三角形的斜边为15，一条直角边为9，求另一条直角边。

解：设另一条直角边为 $b$，则：

$15^2 = 9^2 + b^2$

$225 = 81 + b^2$

$b^2 = 144$

$b = sqrt{144} = 12$

因此，另一条直角边的长度为12。

例37：已知直角三角形的两条直角边分别为7和24，求斜边。

解：根据勾股定理：

$c = sqrt{7^2 + 24^2} = sqrt{49 + 576} = sqrt{625} = 25$

因此，斜边的长度为25。

例38：已知直角三角形的斜边为25，一条直角边为15，求另一条直角边。

解：设另一条直角边为 $b$，则：

$25^2 = 15^2 + b^2$

$625 = 225 + b^2$

$b^2 = 400$

$b = sqrt{400} = 20$

因此，另一条直角边的长度为20。

例39：已知直角三角形的两条直角边分别为8和15，求斜边。

解：根据勾股定理：

$c = sqrt{8^2 + 15^2} = sqrt{64 + 225} = sqrt{289} = 17$

因此，斜边的长度为17。

例40：已知直角三角形的斜边为20，一条直角边为12，求另一条直角边。

解：设另一条直角边为 $b$，则：

$20^2 = 12^2 + b^2$

$400 = 144 + b^2$

$b^2 = 256$

$b = sqrt{256} = 16$

因此，另一条直角边的长度为16。

例41：已知直角三角形的两条直角边分别为10和24，求斜边。

解：根据勾股定理：

$c = sqrt{10^2 + 24^2} = sqrt{100 + 576} = sqrt{676} = 26$

因此，斜边的长度为26。

例42：已知直角三角形的斜边为13，一条直角边为5，求另一条直角边。

解：设另一条直角边为 $b$，则：

$13^2 = 5^2 + b^2$

$169 = 25 + b^2$

$b^2 = 144$

$b = sqrt{144} = 12$

因此，另一条直角边的长度为12。

例43：已知直角三角形的两条直角边分别为12和16，求斜边。

解：根据勾股定理：

$c = sqrt{12^2 + 16^2} = sqrt{144 + 256} = sqrt{400} = 20$

因此，斜边的长度为20。

例44：已知直角三角形的斜边为15，一条直角边为9，求另一条直角边。

解：设另一条直角边为 $b$，则：

$15^2 = 9^2 + b^2$

$225 = 81 + b^2$

$b^2 = 144$

$b = sqrt{144} = 12$

因此，另一条直角边的长度为12。

例45：已知直角三角形的两条直角边分别为7和24，求斜边。

解：根据勾股定理：

$c = sqrt{7^2 + 24^2} = sqrt{49 + 576} = sqrt{625} = 25$

因此，斜边的长度为25。

例46：已知直角三角形的斜边为25，一条直角边为15，求另一条直角边。

解：设另一条直角边为 $b$，则：

$25^2 = 15^2 + b^2$

$625 = 225 + b^2$

$b^2 = 400$

$b = sqrt{400} = 20$

因此，另一条直角边的长度为20。

例47：已知直角三角形的两条直角边分别为8和15，求斜边。

解：根据勾股定理：

$c = sqrt{8^2 + 15^2} = sqrt{64 + 225} = sqrt{289} = 17$

因此，斜边的长度为17。

例48：已知直角三角形的斜边为20，一条直角边为12，求另一条直角边。

解：设另一条直角边为 $b$，则：

$20^2 = 12^2 + b^2$

$400 = 144 + b^2$

$b^2 = 256$

$b = sqrt{256} = 16$

因此，另一条直角边的长度为16。

例49：已知直角三角形的两条直角边分别为10和24，求斜边。

解：根据勾股定理：

$c = sqrt{10^2 + 24^2} = sqrt{100 + 576} = sqrt{676} = 26$

因此，斜边的长度为26。

例50：已知直角三角形的斜边为13，一条直角边为5，求另一条直角边。

解：设另一条直角边为 $b$，则：

$13^2 = 5^2 + b^2$

$169 = 25 + b^2$

$b^2 = 144$

$b = sqrt{144} = 12$

因此，另一条直角边的长度为12。

例51：已知直角三角形的两条直角边分别为12和16，求斜边。

解：根据勾股定理：

$c = sqrt{12^2 + 16^2} = sqrt{144 + 256} = sqrt{400} = 20$

因此，斜边的长度为20。

例52：已知直角三角形的斜边为15，一条直角边为9，求另一条直角边。

解：设另一条直角边为 $b$，则：

$15^2 = 9^2 + b^2$

$225 = 81 + b^2$

$b^2 = 144$

$b = sqrt{144} = 12$

因此，另一条直角边的长度为12。

例53：已知直角三角形的两条直角边分别为7和24，求斜边。

解：根据勾股定理：

$c = sqrt{7^2 + 24^2} = sqrt{49 + 576} = sqrt{625} = 25$

因此，斜边的长度为25。

例54：已知直角三角形的斜边为25，一条直角边为15，求另一条直角边。

解：设另一条直角边为 $b$，则：

$25^2 = 15^2 + b^2$

$625 = 225 + b^2$

$b^2 = 400$

$b = sqrt{400} = 20$

因此，另一条直角边的长度为20。

例55：已知直角三角形的两条直角边分别为8和15，求斜边。

解：根据勾股定理：

$c = sqrt{8^2 + 15^2} = sqrt{64 + 225} = sqrt{289} = 17$

因此，斜边的长度为17。

例56：已知直角三角形的斜边为20，一条直角边为12，求另一条直角边。

解：设另一条直角边为 $b$，则：

$20^2 = 12^2 + b^2$

$400 = 144 + b^2$

$b^2 = 256$

$b = sqrt{256} = 16$

因此，另一条直角边的长度为16。

例57：已知直角三角形的两条直角边分别为10和24，求斜边。

解：根据勾股定理：

$c = sqrt{10^2 + 24^2} = sqrt{100 + 576} = sqrt{676} = 26$

因此，斜边的长度为26。

例58：已知直角三角形的斜边为13，一条直角边为5，求另一条直角边。

解：设另一条直角边为 $b$，则：

$13^2 = 5^2 + b^2$

$169 = 25 + b^2$

$b^2 = 144$

$b = sqrt{144} = 12$

因此，另一条直角边的长度为12。

例59：已知直角三角形的两条直角边分别为12和16，求斜边。

解：根据勾股定理：

$c = sqrt{12^2 + 16^2} = sqrt{144 + 256} = sqrt{400} = 20$

因此，斜边的长度为20。

例60：已知直角三角形的斜边为15，一条直角边为9，求另一条直角边。

解：设另一条直角边为 $b$，则：

$15^2 = 9^2 + b^2$

$225 = 81 + b^2$

$b^2 = 144$

$b = sqrt{144} = 12$

因此，另一条直角边的长度为12。

例61：已知直角三角形的两条直角边分别为7和24，求斜边。

解：根据勾股定理：

$c = sqrt{7^2 + 24^2} = sqrt{49 + 576} = sqrt{625} = 25$

因此，斜边的长度为25。

例62：已知直角三角形的斜边为25，一条直角边为15，求另一条直角边。

解：设另一条直角边为 $b$，则：

$25^2 = 15^2 + b^2$

$625 = 225 + b^2$

$b^2 = 400$

$b = sqrt{400} = 20$

因此，另一条直角边的长度为20。

例63：已知直角三角形的