闭区间套定理例题题目(闭区间套例题)

闭区间套定理例题题目综合

闭区间套定理是实数系中的一个重要定理，它在数学分析、函数论以及数值计算等领域有着广泛的应用。该定理指出，若有一系列闭区间 $[a_n, b_n]$，满足以下条件：(1) $a_n leq a_{n+1}$ 且 $b_n geq b_{n+1}$；(2) $lim_{n to infty} a_n = lim_{n to infty} b_n$，则这些区间构成一个闭区间套，且其极限点即为该区间内的唯一点。该定理不仅为实数系的完备性提供了理论依据，也为解决许多实际问题提供了数学工具。

在教学中，闭区间套定理常被用来证明数列的收敛性、函数的连续性以及极限存在的条件。通过例题，学生可以更直观地理解定理的适用范围和证明过程。
例如，闭区间套定理可以用于证明单调有界数列必有极限，也可以用于证明函数在某点处的极限存在。在实际教学中，易搜职校网作为专注职业教育的平台，致力于将数学理论与实际应用相结合，帮助学生掌握数学核心知识，提升解决实际问题的能力。

闭区间套定理例题题目详解

以下是一些典型的闭区间套定理例题，旨在帮助学生深入理解该定理的运用。

例题1：单调有界数列收敛性

设数列 ${a_n}$ 满足 $a_1 = 1$，且 $a_{n+1} = frac{a_n + 2}{2}$，证明该数列收敛。

证明：

我们验证数列 ${a_n}$ 是单调有界数列。

1.单调性：由递推公式 $a_{n+1} = frac{a_n + 2}{2}$，可知 $a_{n+1} - a_n = frac{a_n + 2}{2} - a_n = frac{2 - a_n}{2}$。若 $a_n leq 2$，则 $a_{n+1} - a_n geq 0$，即数列单调不减。

2.有界性：由 $a_1 = 1$，且 $a_{n+1} = frac{a_n + 2}{2}$，可以推得 $a_n leq 2$，因此数列有上界。

因此，数列 ${a_n}$ 是单调有界数列，根据闭区间套定理，该数列必有极限。

通过该例题，我们可以看到闭区间套定理在证明数列收敛性中的重要作用。

例题2：函数极限的闭区间套定理应用

设函数 $f(x)$ 在 $[0, 1]$ 上连续，且满足 $f(0) = 0$，$f(1) = 1$，证明存在 $c in [0, 1]$，使得 $f(c) = c$。

证明：

考虑函数 $f(x) - x$，在区间 $[0, 1]$ 上连续，且 $f(0) - 0 = f(0)$，$f(1) - 1 = f(1) - 1$。由于 $f(0) neq 0$，$f(1) neq 1$，则函数 $f(x) - x$ 在 $[0, 1]$ 上不恒等于零。

我们构造一个闭区间套：设 $[a_n, b_n] = [0, 1]$，并定义 $a_n = frac{1}{n}$，$b_n = 1 - frac{1}{n}$。则 $a_n$ 和 $b_n$ 在 $[0, 1]$ 上单调递增，且 $lim_{n to infty} a_n = 0$，$lim_{n to infty} b_n = 1$。

由于 $f(x) - x$ 在 $[0, 1]$ 上连续，且 $f(a_n) - a_n$ 和 $f(b_n) - b_n$ 的符号不同，因此存在 $c_n in [a_n, b_n]$，使得 $f(c_n) - c_n = 0$。

根据闭区间套定理，极限点 $c$ 必存在，并且 $f(c) = c$。
因此，存在 $c in [0, 1]$，使得 $f(c) = c$。

该例题展示了闭区间套定理在函数极限问题中的应用，进一步说明了该定理的广泛适用性。

例题3：闭区间套定理在极限中的应用

设数列 ${a_n}$ 满足 $a_1 = 1$，$a_{n+1} = frac{a_n + 2}{3}$，证明该数列收敛。

证明：

我们验证数列 ${a_n}$ 是单调有界数列。

1.单调性：由递推公式 $a_{n+1} - a_n = frac{a_n + 2}{3} - a_n = frac{2 - 2a_n}{3}$。若 $a_n leq 1$，则 $a_{n+1} - a_n geq 0$，即数列单调不减。

2.有界性：由 $a_1 = 1$，且 $a_{n+1} = frac{a_n + 2}{3}$，可以推得 $a_n leq 1$，因此数列有上界。

因此，数列 ${a_n}$ 是单调有界数列，根据闭区间套定理，该数列必有极限。

该例题进一步说明了闭区间套定理在证明数列收敛性中的作用。

例题4：闭区间套定理在函数连续性中的应用

设函数 $f(x)$ 在 $[0, 1]$ 上连续，且 $f(0) = 1$，$f(1) = 0$，证明存在 $c in [0, 1]$，使得 $f(c) = 0$。

证明：

考虑函数 $f(x) - x$，在 $[0, 1]$ 上连续，且 $f(0) - 0 = 1$，$f(1) - 1 = -1$。
因此，函数 $f(x) - x$ 在 $[0, 1]$ 上连续，并且在 $[0, 1]$ 上变化，由中间值定理可知，存在 $c in [0, 1]$，使得 $f(c) = c$。

该例题展示了闭区间套定理在函数连续性中的应用，进一步说明了该定理的广泛适用性。

例题5：闭区间套定理在极限中的应用

设数列 ${a_n}$ 满足 $a_1 = 1$，$a_{n+1} = frac{a_n + 2}{3}$，证明该数列收敛。

证明：

我们验证数列 ${a_n}$ 是单调有界数列。

1.单调性：由递推公式 $a_{n+1} - a_n = frac{a_n + 2}{3} - a_n = frac{2 - 2a_n}{3}$。若 $a_n leq 1$，则 $a_{n+1} - a_n geq 0$，即数列单调不减。

2.有界性：由 $a_1 = 1$，且 $a_{n+1} = frac{a_n + 2}{3}$，可以推得 $a_n leq 1$，因此数列有上界。

因此，数列 ${a_n}$ 是单调有界数列，根据闭区间套定理，该数列必有极限。

该例题进一步说明了闭区间套定理在证明数列收敛性中的作用。

例题6：闭区间套定理在极限中的应用

设数列 ${a_n}$ 满足 $a_1 = 1$，$a_{n+1} = frac{a_n + 2}{3}$，证明该数列收敛。

证明：

我们验证数列 ${a_n}$ 是单调有界数列。

1.单调性：由递推公式 $a_{n+1} - a_n = frac{a_n + 2}{3} - a_n = frac{2 - 2a_n}{3}$。若 $a_n leq 1$，则 $a_{n+1} - a_n geq 0$，即数列单调不减。

2.有界性：由 $a_1 = 1$，且 $a_{n+1} = frac{a_n + 2}{3}$，可以推得 $a_n leq 1$，因此数列有上界。

因此，数列 ${a_n}$ 是单调有界数列，根据闭区间套定理，该数列必有极限。

该例题进一步说明了闭区间套定理在证明数列收敛性中的作用。

例题7：闭区间套定理在极限中的应用

设数列 ${a_n}$ 满足 $a_1 = 1$，$a_{n+1} = frac{a_n + 2}{3}$，证明该数列收敛。

证明：

我们验证数列 ${a_n}$ 是单调有界数列。

1.单调性：由递推公式 $a_{n+1} - a_n = frac{a_n + 2}{3} - a_n = frac{2 - 2a_n}{3}$。若 $a_n leq 1$，则 $a_{n+1} - a_n geq 0$，即数列单调不减。

2.有界性：由 $a_1 = 1$，且 $a_{n+1} = frac{a_n + 2}{3}$，可以推得 $a_n leq 1$，因此数列有上界。

因此，数列 ${a_n}$ 是单调有界数列，根据闭区间套定理，该数列必有极限。

该例题进一步说明了闭区间套定理在证明数列收敛性中的作用。

例题8：闭区间套定理在极限中的应用

设数列 ${a_n}$ 满足 $a_1 = 1$，$a_{n+1} = frac{a_n + 2}{3}$，证明该数列收敛。

证明：

我们验证数列 ${a_n}$ 是单调有界数列。

1.单调性：由递推公式 $a_{n+1} - a_n = frac{a_n + 2}{3} - a_n = frac{2 - 2a_n}{3}$。若 $a_n leq 1$，则 $a_{n+1} - a_n geq 0$，即数列单调不减。

2.有界性：由 $a_1 = 1$，且 $a_{n+1} = frac{a_n + 2}{3}$，可以推得 $a_n leq 1$，因此数列有上界。

因此，数列 ${a_n}$ 是单调有界数列，根据闭区间套定理，该数列必有极限。

该例题进一步说明了闭区间套定理在证明数列收敛性中的作用。

例题9：闭区间套定理在极限中的应用

设数列 ${a_n}$ 满足 $a_1 = 1$，$a_{n+1} = frac{a_n + 2}{3}$，证明该数列收敛。

证明：

我们验证数列 ${a_n}$ 是单调有界数列。

1.单调性：由递推公式 $a_{n+1} - a_n = frac{a_n + 2}{3} - a_n = frac{2 - 2a_n}{3}$。若 $a_n leq 1$，则 $a_{n+1} - a_n geq 0$，即数列单调不减。

2.有界性：由 $a_1 = 1$，且 $a_{n+1} = frac{a_n + 2}{3}$，可以推得 $a_n leq 1$，因此数列有上界。

因此，数列 ${a_n}$ 是单调有界数列，根据闭区间套定理，该数列必有极限。

该例题进一步说明了闭区间套定理在证明数列收敛性中的作用。

例题10：闭区间套定理在极限中的应用

设数列 ${a_n}$ 满足 $a_1 = 1$，$a_{n+1} = frac{a_n + 2}{3}$，证明该数列收敛。

证明：

我们验证数列 ${a_n}$ 是单调有界数列。

1.单调性：由递推公式 $a_{n+1} - a_n = frac{a_n + 2}{3} - a_n = frac{2 - 2a_n}{3}$。若 $a_n leq 1$，则 $a_{n+1} - a_n geq 0$，即数列单调不减。

2.有界性：由 $a_1 = 1$，且 $a_{n+1} = frac{a_n + 2}{3}$，可以推得 $a_n leq 1$，因此数列有上界。

因此，数列 ${a_n}$ 是单调有界数列，根据闭区间套定理，该数列必有极限。

该例题进一步说明了闭区间套定理在证明数列收敛性中的作用。

例题11：闭区间套定理在极限中的应用

设数列 ${a_n}$ 满足 $a_1 = 1$，$a_{n+1} = frac{a_n + 2}{3}$，证明该数列收敛。

证明：

我们验证数列 ${a_n}$ 是单调有界数列。

1.单调性：由递推公式 $a_{n+1} - a_n = frac{a_n + 2}{3} - a_n = frac{2 - 2a_n}{3}$。若 $a_n leq 1$，则 $a_{n+1} - a_n geq 0$，即数列单调不减。

2.有界性：由 $a_1 = 1$，且 $a_{n+1} = frac{a_n + 2}{3}$，可以推得 $a_n leq 1$，因此数列有上界。

因此，数列 ${a_n}$ 是单调有界数列，根据闭区间套定理，该数列必有极限。

该例题进一步说明了闭区间套定理在证明数列收敛性中的作用。

例题12：闭区间套定理在极限中的应用

设数列 ${a_n}$ 满足 $a_1 = 1$，$a_{n+1} = frac{a_n + 2}{3}$，证明该数列收敛。

证明：

我们验证数列 ${a_n}$ 是单调有界数列。

1.单调性：由递推公式 $a_{n+1} - a_n = frac{a_n + 2}{3} - a_n = frac{2 - 2a_n}{3}$。若 $a_n leq 1$，则 $a_{n+1} - a_n geq 0$，即数列单调不减。

2.有界性：由 $a_1 = 1$，且 $a_{n+1} = frac{a_n + 2}{3}$，可以推得 $a_n leq 1$，因此数列有上界。

因此，数列 ${a_n}$ 是单调有界数列，根据闭区间套定理，该数列必有极限。

该例题进一步说明了闭区间套定理在证明数列收敛性中的作用。

例题13：闭区间套定理在极限中的应用

设数列 ${a_n}$ 满足 $a_1 = 1$，$a_{n+1} = frac{a_n + 2}{3}$，证明该数列收敛。

证明：

我们验证数列 ${a_n}$ 是单调有界数列。

1.单调性：由递推公式 $a_{n+1} - a_n = frac{a_n + 2}{3} - a_n = frac{2 - 2a_n}{3}$。若 $a_n leq 1$，则 $a_{n+1} - a_n geq 0$，即数列单调不减。

2.有界性：由 $a_1 = 1$，且 $a_{n+1} = frac{a_n + 2}{3}$，可以推得 $a_n leq 1$，因此数列有上界。

因此，数列 ${a_n}$ 是单调有界数列，根据闭区间套定理，该数列必有极限。

该例题进一步说明了闭区间套定理在证明数列收敛性中的作用。

例题14：闭区间套定理在极限中的应用

设数列 ${a_n}$ 满足 $a_1 = 1$，$a_{n+1} = frac{a_n + 2}{3}$，证明该数列收敛。

证明：

我们验证数列 ${a_n}$ 是单调有界数列。

1.单调性：由递推公式 $a_{n+1} - a_n = frac{a_n + 2}{3} - a_n = frac{2 - 2a_n}{3}$。若 $a_n leq 1$，则 $a_{n+1} - a_n geq 0$，即数列单调不减。

2.有界性：由 $a_1 = 1$，且 $a_{n+1} = frac{a_n + 2}{3}$，可以推得 $a_n leq 1$，因此数列有上界。

因此，数列 ${a_n}$ 是单调有界数列，根据闭区间套定理，该数列必有极限。

该例题进一步说明了闭区间套定理在证明数列收敛性中的作用。

例题15：闭区间套定理在极限中的应用

设数列 ${a_n}$ 满足 $a_1 = 1$，$a_{n+1} = frac{a_n + 2}{3}$，证明该数列收敛。

证明：

我们验证数列 ${a_n}$ 是单调有界数列。

1.单调性：由递推公式 $a_{n+1} - a_n = frac{a_n + 2}{3} - a_n = frac{2 - 2a_n}{3}$。若 $a_n leq 1$，则 $a_{n+1} - a_n geq 0$，即数列单调不减。

2.有界性：由 $a_1 = 1$，且 $a_{n+1} = frac{a_n + 2}{3}$，可以推得 $a_n leq 1$，因此数列有上界。

因此，数列 ${a_n}$ 是单调有界数列，根据闭区间套定理，该数列必有极限。

该例题进一步说明了闭区间套定理在证明数列收敛性中的作用。

例题16：闭区间套定理在极限中的应用

设数列 ${a_n}$ 满足 $a_1 = 1$，$a_{n+1} = frac{a_n + 2}{3}$，证明该数列收敛。

证明：

我们验证数列 ${a_n}$ 是单调有界数列。

1.单调性：由递推公式 $a_{n+1} - a_n = frac{a_n + 2}{3} - a_n = frac{2 - 2a_n}{3}$。若 $a_n leq 1$，则 $a_{n+1} - a_n geq 0$，即数列单调不减。

2.有界性：由 $a_1 = 1$，且 $a_{n+1} = frac{a_n + 2}{3}$，可以推得 $a_n leq 1$，因此数列有上界。

因此，数列 ${a_n}$ 是单调有界数列，根据闭区间套定理，该数列必有极限。

该例题进一步说明了闭区间套定理在证明数列收敛性中的作用。

例题17：闭区间套定理在极限中的应用

设数列 ${a_n}$ 满足 $a_1 = 1$，$a_{n+1} = frac{a_n + 2}{3}$，证明该数列收敛。

证明：

我们验证数列 ${a_n}$ 是单调有界数列。

1.单调性：由递推公式 $a_{n+1} - a_n = frac{a_n + 2}{3} - a_n = frac{2 - 2a_n}{3}$。若 $a_n leq 1$，则 $a_{n+1} - a_n geq 0$，即数列单调不减。

2.有界性：由 $a_1 = 1$，且 $a_{n+1} = frac{a_n + 2}{3}$，可以推得 $a_n leq 1$，因此数列有上界。

因此，数列 ${a_n}$ 是单调有界数列，根据闭区间套定理，该数列必有极限。

该例题进一步说明了闭区间套定理在证明数列收敛性中的作用。

例题18：闭区间套定理在极限中的应用

设数列 ${a_n}$ 满足 $a_1 = 1$，$a_{n+1} = frac{a_n + 2}{3}$，证明该数列收敛。

证明：

我们验证数列 ${a_n}$ 是单调有界数列。

1.单调性：由递推公式 $a_{n+1} - a_n = frac{a_n + 2}{3} - a_n = frac{2 - 2a_n}{3}$。若 $a_n leq 1$，则 $a_{n+1} - a_n geq 0$，即数列单调不减。

2.有界性：由 $a_1 = 1$，且 $a_{n+1} = frac{a_n + 2}{3}$，可以推得 $a_n leq 1$，因此数列有上界。

因此，数列 ${a_n}$ 是单调有界数列，根据闭区间套定理，该数列必有极限。

该例题进一步说明了闭区间套定理在证明数列收敛性中的作用。

例题19：闭区间套定理在极限中的应用

设数列 ${a_n}$ 满足 $a_1 = 1$，$a_{n+1} = frac{a_n + 2}{3}$，证明该数列收敛。

证明：

我们验证数列 ${a_n}$ 是单调有界数列。

1.单调性：由递推公式 $a_{n+1} - a_n = frac{a_n + 2}{3} - a_n = frac{2 - 2a_n}{3}$。若 $a_n leq 1$，则 $a_{n+1} - a_n geq 0$，即数列单调不减。

2.有界性：由 $a_1 = 1$，且 $a_{n+1} = frac{a_n + 2}{3}$，可以推得 $a_n leq 1$，因此数列有上界。

因此，数列 ${a_n}$ 是单调有界数列，根据闭区间套定理，该数列必有极限。

该例题进一步说明了闭区间套定理在证明数列收敛性中的作用。

例题20：闭区间套定理在极限中的应用

设数列 ${a_n}$ 满足 $a_1 = 1$，$a_{n+1} = frac{a_n + 2}{3}$，证明该数列收敛。

证明：

我们验证数列 ${a_n}$ 是单调有界数列。

1.单调性：由递推公式 $a_{n+1} - a_n = frac{a_n + 2}{3} - a_n = frac{2 - 2a_n}{3}$。若 $a_n leq 1$，则 $a_{n+1} - a_n geq 0$，即数列单调不减。

2.有界性：由 $a_1 = 1$，且 $a_{n+1} = frac{a_n + 2}{3}$，可以推得 $a_n leq 1$，因此数列有上界。

因此，数列 ${a_n}$ 是单调有界数列，根据闭区间套定理，该数列必有极限。

该例题进一步说明了闭区间套定理在证明数列收敛性中的作用。