三角形余弦定理例题-三角形余弦定理例题

三角形余弦定理是三角形中一个重要的定理，其公式为： $$ c^2 = a^2 + b^2 - 2abcos C $$ 其中，$ a $、$ b $、$ c $ 分别为三角形的三边，$ C $ 为夹角。该定理适用于任意三角形，而不仅仅是直角三角形。它与勾股定理类似，但更适用于非直角三角形的边角关系分析。

在考试中，余弦定理常以多种题型出现，例如：
1.已知两边和夹角求第三边；
2.已知三边求夹角；
3.已知两边和其中一边的对角求第三边；
4.已知三边求其他角。 这些题型的解题关键在于正确应用余弦定理并进行代数运算。

下面将通过几个典型例题，详细阐述如何运用三角形余弦定理解决实际问题。 例题 1：已知两边和夹角求第三边 题目：在三角形 $ ABC $ 中，$ AB = 5 $，$ AC = 7 $，夹角 $ angle A = 60^circ $，求 $ BC $ 的长度。 解题过程：
1.根据余弦定理，公式为： $$ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 cdot AB cdot AC cdot cos A $$
2.代入已知数据： $$ BC^2 = 5^2 + 7^2 - 2 cdot 5 cdot 7 cdot cos 60^circ $$
3.计算各部分： $$ 5^2 = 25, quad 7^2 = 49, quad cos 60^circ = 0.5 $$
4.代入计算： $$ BC^2 = 25 + 49 - 2 cdot 5 cdot 7 cdot 0.5 = 74 - 35 = 39 $$
5.开根号： $$ BC = sqrt{39} approx 6.245 $$ 答案：$ BC approx 6.245 $ 例题 2：已知三边求夹角 题目：在三角形 $ ABC $ 中，$ AB = 5 $，$ BC = 7 $，$ AC = 9 $，求 $ angle B $ 的大小。 解题过程：
1.根据余弦定理： $$ cos B = frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 cdot AB cdot BC} $$
2.代入数据： $$ cos B = frac{5^2 + 7^2 - 9^2}{2 cdot 5 cdot 7} = frac{25 + 49 - 81}{70} = frac{-9}{70} $$
3.计算角度： $$ B = cos^{-1}left( frac{-9}{70} right) approx 96.4^circ $$ 答案：$ angle B approx 96.4^circ $ 例题 3：已知两边和其中一边的对角求第三边 题目：在三角形 $ ABC $ 中，$ AB = 5 $，$ AC = 7 $，$ angle A = 60^circ $，求 $ BC $ 的长度。 解题过程：
1.已知两边 $ AB = 5 $，$ AC = 7 $，夹角 $ angle A = 60^circ $，与例题 1 相同，因此可以直接应用余弦定理。
2.代入公式： $$ BC^2 = 5^2 + 7^2 - 2 cdot 5 cdot 7 cdot cos 60^circ = 39 $$
3.解得： $$ BC = sqrt{39} approx 6.245 $$ 答案：$ BC approx 6.245 $ 例题 4：已知三边求其他角 题目：在三角形 $ ABC $ 中，$ AB = 5 $，$ BC = 7 $，$ AC = 9 $，求 $ angle C $ 的大小。 解题过程：
1.根据余弦定理： $$ cos C = frac{AC^2 + BC^2 - AB^2}{2 cdot AC cdot BC} $$
2.代入数据： $$ cos C = frac{9^2 + 7^2 - 5^2}{2 cdot 9 cdot 7} = frac{81 + 49 - 25}{126} = frac{105}{126} = frac{5}{6} $$
3.计算角度： $$ C = cos^{-1}left( frac{5}{6} right) approx 33.56^circ $$ 答案：$ angle C approx 33.56^circ $ 例题 5：已知两边和其中一边的对角求第三边 题目：在三角形 $ ABC $ 中，$ AB = 5 $，$ AC = 7 $，$ angle A = 60^circ $，求 $ BC $ 的长度。 解题过程：
1.已知两边 $ AB = 5 $，$ AC = 7 $，夹角 $ angle A = 60^circ $，与例题 1 相同，因此可以直接应用余弦定理。
2.代入公式： $$ BC^2 = 5^2 + 7^2 - 2 cdot 5 cdot 7 cdot cos 60^circ = 39 $$
3.解得： $$ BC = sqrt{39} approx 6.245 $$ 答案：$ BC approx 6.245 $ 例题 6：已知三边求其他角 题目：在三角形 $ ABC $ 中，$ AB = 5 $，$ BC = 7 $，$ AC = 9 $，求 $ angle B $ 的大小。 解题过程：
1.根据余弦定理： $$ cos B = frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 cdot AB cdot BC} $$
2.代入数据： $$ cos B = frac{5^2 + 7^2 - 9^2}{2 cdot 5 cdot 7} = frac{25 + 49 - 81}{70} = frac{-9}{70} $$
3.计算角度： $$ B = cos^{-1}left( frac{-9}{70} right) approx 96.4^circ $$ 答案：$ angle B approx 96.4^circ $ 例题 7：已知两边和其中一边的对角求第三边 题目：在三角形 $ ABC $ 中，$ AB = 5 $，$ AC = 7 $，$ angle A = 60^circ $，求 $ BC $ 的长度。 解题过程：
1.已知两边 $ AB = 5 $，$ AC = 7 $，夹角 $ angle A = 60^circ $，与例题 1 相同，因此可以直接应用余弦定理。
2.代入公式： $$ BC^2 = 5^2 + 7^2 - 2 cdot 5 cdot 7 cdot cos 60^circ = 39 $$
3.解得： $$ BC = sqrt{39} approx 6.245 $$ 答案：$ BC approx 6.245 $ 例题 8：已知三边求其他角 题目：在三角形 $ ABC $ 中，$ AB = 5 $，$ BC = 7 $，$ AC = 9 $，求 $ angle C $ 的大小。 解题过程：
1.根据余弦定理： $$ cos C = frac{AC^2 + BC^2 - AB^2}{2 cdot AC cdot BC} $$
2.代入数据： $$ cos C = frac{9^2 + 7^2 - 5^2}{2 cdot 9 cdot 7} = frac{81 + 49 - 25}{126} = frac{105}{126} = frac{5}{6} $$
3.计算角度： $$ C = cos^{-1}left( frac{5}{6} right) approx 33.56^circ $$ 答案：$ angle C approx 33.56^circ $ 例题 9：已知两边和其中一边的对角求第三边 题目：在三角形 $ ABC $ 中，$ AB = 5 $，$ AC = 7 $，$ angle A = 60^circ $，求 $ BC $ 的长度。 解题过程：
1.已知两边 $ AB = 5 $，$ AC = 7 $，夹角 $ angle A = 60^circ $，与例题 1 相同，因此可以直接应用余弦定理。
2.代入公式： $$ BC^2 = 5^2 + 7^2 - 2 cdot 5 cdot 7 cdot cos 60^circ = 39 $$
3.解得： $$ BC = sqrt{39} approx 6.245 $$ 答案：$ BC approx 6.245 $ 例题 10：已知三边求其他角 题目：在三角形 $ ABC $ 中，$ AB = 5 $，$ BC = 7 $，$ AC = 9 $，求 $ angle B $ 的大小。 解题过程：
1.根据余弦定理： $$ cos B = frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 cdot AB cdot BC} $$
2.代入数据： $$ cos B = frac{5^2 + 7^2 - 9^2}{2 cdot 5 cdot 7} = frac{25 + 49 - 81}{70} = frac{-9}{70} $$
3.计算角度： $$ B = cos^{-1}left( frac{-9}{70} right) approx 96.4^circ $$ 答案：$ angle B approx 96.4^circ $ 归结起来说 通过以上例题的分析可以看出，三角形余弦定理在解题中具有广泛的应用性。无论是已知两边和夹角求第三边，还是已知三边求夹角，余弦定理都能提供准确的计算方法。在考试中，熟练掌握余弦定理的公式和应用方法，有助于提高解题速度和准确性。

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