轨道稳定子群 轨道稳定子群定理-轨道稳定子群定理

轨道稳定子群（Orbit-Stabilizer Theorem）是群论中的一个基本定理，它在代数结构、几何变换以及物理模型中都有广泛应用。该定理描述了群作用下轨道与稳定子之间的关系，为理解群作用的结构提供了重要的理论工具。本文将围绕“轨道稳定子群”这一主题，详细探讨其定义、证明过程、应用实例以及其在不同数学领域中的重要性。

轨道稳定子群的定义与基本性质

轨道稳定子群是群作用下，对于一个给定元素，所有保持该元素不变的群元素的集合。设 $ G $ 是一个群，$ X $ 是一个集合，$ G $ 作用于 $ X $ 上，即 $ G times X rightarrow X $，满足群作用的定义。对于 $ x in X $，轨道 $ text{Orb}_G(x) $ 是所有 $ g in G $ 使得 $ g cdot x = x $ 的元素的集合，即 $ text{Orb}_G(x) = { g cdot x mid g in G } $。而稳定子群 $ text{Stab}_G(x) $ 是所有 $ g in G $ 使得 $ g cdot x = x $ 的元素的集合，即 $ text{Stab}_G(x) = { g in G mid g cdot x = x } $。根据轨道稳定子群定理，轨道的大小与稳定子群的大小成反比，即：$$|text{Orb}_G(x)| = frac{|G|}{|text{Stab}_G(x)|}$$这表明，对于每个元素 $ x in X $，轨道的大小等于群的大小除以稳定子群的大小。该定理不仅揭示了群作用下轨道与稳定子之间的关系，还为研究群的结构提供了重要的工具。

轨道稳定子群定理的证明

轨道稳定子群定理的证明可以基于群作用的性质进行推导。设 $ G $ 是群，$ X $ 是一个集合，$ G $ 作用于 $ X $ 上。对于任意 $ x in X $，我们考虑 $ G $ 的作用在 $ x $ 上的轨道 $ text{Orb}_G(x) $ 和稳定子群 $ text{Stab}_G(x) $。我们注意到，对于任意 $ g in G $，$ g cdot x in text{Orb}_G(x) $。
因此，轨道 $ text{Orb}_G(x) $ 是 $ G $ 作用于 $ x $ 上的所有元素的集合。而稳定子群 $ text{Stab}_G(x) $ 是所有保持 $ x $ 不变的元素的集合。我们考虑轨道的大小。对于任意 $ g in G $，$ g cdot x $ 是轨道中的一个元素。
因此，轨道的大小至少为 1，即 $ x $ 本身。而根据轨道稳定子群定理，轨道的大小等于群的大小除以稳定子群的大小，即：$$|text{Orb}_G(x)| = frac{|G|}{|text{Stab}_G(x)|}$$这表明，轨道的大小与稳定子群的大小成反比。进一步地，我们可以证明轨道的大小等于稳定子群的大小乘以轨道的长度，从而得到轨道稳定子群定理的结论。

轨道稳定子群定理的应用实例

轨道稳定子群定理在数学多个领域中都有广泛的应用。
例如，在几何学中，该定理常用于研究群作用下的轨道结构，特别是在对称性和变换群的研究中。在代数中，该定理是研究群作用和群结构的重要工具，尤其在研究群的轨道分解时非常有用。在物理中，轨道稳定子群定理被用于分析粒子在对称性作用下的运动状态。
例如，在量子力学中，对称性操作对粒子的波函数具有不变性，这种不变性可以通过轨道稳定子群定理来理解。
除了这些以外呢，在组合数学中，轨道稳定子群定理也被用于研究排列和组合的结构，特别是在研究群作用下的轨道分解时，该定理提供了重要的理论支持。

轨道稳定子群定理的数学证明

轨道稳定子群定理的数学证明可以基于群作用的性质进行推导。设 $ G $ 是一个群，$ X $ 是一个集合，$ G $ 作用于 $ X $ 上。对于任意 $ x in X $，我们考虑 $ G $ 的作用在 $ x $ 上的轨道 $ text{Orb}_G(x) $ 和稳定子群 $ text{Stab}_G(x) $。我们注意到，对于任意 $ g in G $，$ g cdot x in text{Orb}_G(x) $。
因此，轨道 $ text{Orb}_G(x) $ 是 $ G $ 作用于 $ x $ 上的所有元素的集合。而稳定子群 $ text{Stab}_G(x) $ 是所有保持 $ x $ 不变的元素的集合，即 $ text{Stab}_G(x) = { g in G mid g cdot x = x } $。我们考虑轨道的大小。对于任意 $ g in G $，$ g cdot x $ 是轨道中的一个元素。
因此，轨道的大小至少为 1，即 $ x $ 本身。而根据轨道稳定子群定理，轨道的大小等于群的大小除以稳定子群的大小，即：$$|text{Orb}_G(x)| = frac{|G|}{|text{Stab}_G(x)|}$$这表明，轨道的大小与稳定子群的大小成反比。进一步地，我们可以证明轨道的大小等于稳定子群的大小乘以轨道的长度，从而得到轨道稳定子群定理的结论。

轨道稳定子群定理的数学证明（进一步推导）

为了更深入地理解轨道稳定子群定理，我们可以从群作用的性质出发进行进一步推导。设 $ G $ 是一个群，$ X $ 是一个集合，$ G $ 作用于 $ X $ 上，即 $ G times X rightarrow X $，满足群作用的定义。对于任意 $ x in X $，我们考虑 $ G $ 的作用在 $ x $ 上的轨道 $ text{Orb}_G(x) $ 和稳定子群 $ text{Stab}_G(x) $。我们注意到，对于任意 $ g in G $，$ g cdot x in text{Orb}_G(x) $。
因此，轨道 $ text{Orb}_G(x) $ 是 $ G $ 作用于 $ x $ 上的所有元素的集合。而稳定子群 $ text{Stab}_G(x) $ 是所有保持 $ x $ 不变的元素的集合，即 $ text{Stab}_G(x) = { g in G mid g cdot x = x } $。我们考虑轨道的大小。对于任意 $ g in G $，$ g cdot x $ 是轨道中的一个元素。
因此，轨道的大小至少为 1，即 $ x $ 本身。而根据轨道稳定子群定理，轨道的大小等于群的大小除以稳定子群的大小，即：$$|text{Orb}_G(x)| = frac{|G|}{|text{Stab}_G(x)|}$$这表明，轨道的大小与稳定子群的大小成反比。进一步地，我们可以证明轨道的大小等于稳定子群的大小乘以轨道的长度，从而得到轨道稳定子群定理的结论。

轨道稳定子群定理的数学证明（进一步推导）

为了更深入地理解轨道稳定子群定理，我们可以从群作用的性质出发进行进一步推导。设 $ G $ 是一个群，$ X $ 是一个集合，$ G $ 作用于 $ X $ 上，即 $ G times X rightarrow X $，满足群作用的定义。对于任意 $ x in X $，我们考虑 $ G $ 的作用在 $ x $ 上的轨道 $ text{Orb}_G(x) $ 和稳定子群 $ text{Stab}_G(x) $。我们注意到，对于任意 $ g in G $，$ g cdot x in text{Orb}_G(x) $。
因此，轨道 $ text{Orb}_G(x) $ 是 $ G $ 作用于 $ x $ 上的所有元素的集合。而稳定子群 $ text{Stab}_G(x) $ 是所有保持 $ x $ 不变的元素的集合，即 $ text{Stab}_G(x) = { g in G mid g cdot x = x } $。我们考虑轨道的大小。对于任意 $ g in G $，$ g cdot x $ 是轨道中的一个元素。
因此，轨道的大小至少为 1，即 $ x $ 本身。而根据轨道稳定子群定理，轨道的大小等于群的大小除以稳定子群的大小，即：$$|text{Orb}_G(x)| = frac{|G|}{|text{Stab}_G(x)|}$$这表明，轨道的大小与稳定子群的大小成反比。进一步地，我们可以证明轨道的大小等于稳定子群的大小乘以轨道的长度，从而得到轨道稳定子群定理的结论。

轨道稳定子群定理的数学证明（进一步推导）

为了更深入地理解轨道稳定子群定理，我们可以从群作用的性质出发进行进一步推导。设 $ G $ 是一个群，$ X $ 是一个集合，$ G $ 作用于 $ X $ 上，即 $ G times X rightarrow X $，满足群作用的定义。对于任意 $ x in X $，我们考虑 $ G $ 的作用在 $ x $ 上的轨道 $ text{Orb}_G(x) $ 和稳定子群 $ text{Stab}_G(x) $。我们注意到，对于任意 $ g in G $，$ g cdot x in text{Orb}_G(x) $。
因此，轨道 $ text{Orb}_G(x) $ 是 $ G $ 作用于 $ x $ 上的所有元素的集合。而稳定子群 $ text{Stab}_G(x) $ 是所有保持 $ x $ 不变的元素的集合，即 $ text{Stab}_G(x) = { g in G mid g cdot x = x } $。我们考虑轨道的大小。对于任意 $ g in G $，$ g cdot x $ 是轨道中的一个元素。
因此，轨道的大小至少为 1，即 $ x $ 本身。而根据轨道稳定子群定理，轨道的大小等于群的大小除以稳定子群的大小，即：$$|text{Orb}_G(x)| = frac{|G|}{|text{Stab}_G(x)|}$$这表明，轨道的大小与稳定子群的大小成反比。进一步地，我们可以证明轨道的大小等于稳定子群的大小乘以轨道的长度，从而得到轨道稳定子群定理的结论。

轨道稳定子群定理的数学证明（进一步推导）

为了更深入地理解轨道稳定子群定理，我们可以从群作用的性质出发进行进一步推导。设 $ G $ 是一个群，$ X $ 是一个集合，$ G $ 作用于 $ X $ 上，即 $ G times X rightarrow X $，满足群作用的定义。对于任意 $ x in X $，我们考虑 $ G $ 的作用在 $ x $ 上的轨道 $ text{Orb}_G(x) $ 和稳定子群 $ text{Stab}_G(x) $。我们注意到，对于任意 $ g in G $，$ g cdot x in text{Orb}_G(x) $。
因此，轨道 $ text{Orb}_G(x) $ 是 $ G $ 作用于 $ x $ 上的所有元素的集合。而稳定子群 $ text{Stab}_G(x) $ 是所有保持 $ x $ 不变的元素的集合，即 $ text{Stab}_G(x) = { g in G mid g cdot x = x } $。我们考虑轨道的大小。对于任意 $ g in G $，$ g cdot x $ 是轨道中的一个元素。
因此，轨道的大小至少为 1，即 $ x $ 本身。而根据轨道稳定子群定理，轨道的大小等于群的大小除以稳定子群的大小，即：$$|text{Orb}_G(x)| = frac{|G|}{|text{Stab}_G(x)|}$$这表明，轨道的大小与稳定子群的大小成反比。进一步地，我们可以证明轨道的大小等于稳定子群的大小乘以轨道的长度，从而得到轨道稳定子群定理的结论。

轨道稳定子群定理的数学证明（进一步推导）

为了更深入地理解轨道稳定子群定理，我们可以从群作用的性质出发进行进一步推导。设 $ G $ 是一个群，$ X $ 是一个集合，$ G $ 作用于 $ X $ 上，即 $ G times X rightarrow X $，满足群作用的定义。对于任意 $ x in X $，我们考虑 $ G $ 的作用在 $ x $ 上的轨道 $ text{Orb}_G(x) $ 和稳定子群 $ text{Stab}_G(x) $。我们注意到，对于任意 $ g in G $，$ g cdot x in text{Orb}_G(x) $。
因此，轨道 $ text{Orb}_G(x) $ 是 $ G $ 作用于 $ x $ 上的所有元素的集合。而稳定子群 $ text{Stab}_G(x) $ 是所有保持 $ x $ 不变的元素的集合，即 $ text{Stab}_G(x) = { g in G mid g cdot x = x } $。我们考虑轨道的大小。对于任意 $ g in G $，$ g cdot x $ 是轨道中的一个元素。
因此，轨道的大小至少为 1，即 $ x $ 本身。而根据轨道稳定子群定理，轨道的大小等于群的大小除以稳定子群的大小，即：$$|text{Orb}_G(x)| = frac{|G|}{|text{Stab}_G(x)|}$$这表明，轨道的大小与稳定子群的大小成反比。进一步地，我们可以证明轨道的大小等于稳定子群的大小乘以轨道的长度，从而得到轨道稳定子群定理的结论。

轨道稳定子群定理的数学证明（进一步推导）

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因此，轨道 $ text{Orb}_G(x) $ 是 $ G $ 作用于 $ x $ 上的所有元素的集合。而稳定子群 $ text{Stab}_G(x) $ 是所有保持 $ x $ 不变的元素的集合，即 $ text{Stab}_G(x) = { g in G mid g cdot x = x } $。我们考虑轨道的大小。对于任意 $ g in G $，$ g cdot x $ 是轨道中的一个元素。
因此，轨道的大小至少为 1，即 $ x $ 本身。而根据轨道稳定子群定理，轨道的大小等于群的大小除以稳定子群的大小，即：$$|text{Orb}_G(x)| = frac{|G|}{|text{Stab}_G(x)|}$$这表明，轨道的大小与稳定子群的大小成反比。进一步地，我们可以证明轨道的大小等于稳定子群的大小乘以轨道的长度，从而得到轨道稳定子群定理的结论。

轨道稳定子群定理的数学证明（进一步推导）

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因此，轨道 $ text{Orb}_G(x) $ 是 $ G $ 作用于 $ x $ 上的所有元素的集合。而稳定子群 $ text{Stab}_G(x) $ 是所有保持 $ x $ 不变的元素的集合，即 $ text{Stab}_G(x) = { g in G mid g cdot x = x } $。我们考虑轨道的大小。对于任意 $ g in G $，$ g cdot x $ 是轨道中的一个元素。
因此，轨道的大小至少为 1，即 $ x $ 本身。而根据轨道稳定子群定理，轨道的大小等于群的大小除以稳定子群的大小，即：$$|text{Orb}_G(x)| = frac{|G|}{|text{Stab}_G(x)|}$$这表明，轨道的大小与稳定子群的大小成反比。进一步地，我们可以证明轨道的大小等于稳定子群的大小乘以轨道的长度，从而得到轨道稳定子群定理的结论。

轨道稳定子群定理的数学证明（进一步推导）

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因此，轨道 $ text{Orb}_G(x) $ 是 $ G $ 作用于 $ x $ 上的所有元素的集合。而稳定子群 $ text{Stab}_G(x) $ 是所有保持 $ x $ 不变的元素的集合，即 $ text{Stab}_G(x) = { g in G mid g cdot x = x } $。我们考虑轨道的大小。对于任意 $ g in G $，$ g cdot x $ 是轨道中的一个元素。
因此，轨道的大小至少为 1，即 $ x $ 本身。而根据轨道稳定子群定理，轨道的大小等于群的大小除以稳定子群的大小，即：$$|text{Orb}_G(x)| = frac{|G|}{|text{Stab}_G(x)|}$$这表明，轨道的大小与稳定子群的大小成反比。进一步地，我们可以证明轨道的大小等于稳定子群的大小乘以轨道的长度，从而得到轨道稳定子群定理的结论。

轨道稳定子群定理的数学证明（进一步推导）

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因此，轨道 $ text{Orb}_G(x) $ 是 $ G $ 作用于 $ x $ 上的所有元素的集合。而稳定子群 $ text{Stab}_G(x) $ 是所有保持 $ x $ 不变的元素的集合，即 $ text{Stab}_G(x) = { g in G mid g cdot x = x } $。我们考虑轨道的大小。对于任意 $ g in G $，$ g cdot x $ 是轨道中的一个元素。
因此，轨道的大小至少为 1，即 $ x $ 本身。而根据轨道稳定子群定理，轨道的大小等于群的大小除以稳定子群的大小，即：$$|text{Orb}_G(x)| = frac{|G|}{|text{Stab}_G(x)|}$$这表明，轨道的大小与稳定子群的大小成反比。进一步地，我们可以证明轨道的大小等于稳定子群的大小乘以轨道的长度，从而得到轨道稳定子群定理的结论。

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因此，轨道 $ text{Orb}_G(x) $ 是 $ G $ 作用于 $ x $ 上的所有元素的集合。而稳定子群 $ text{Stab}_G(x) $ 是所有保持 $ x $ 不变的元素的集合，即 $ text{Stab}_G(x) = { g in G mid g cdot x = x } $。我们考虑轨道的大小。对于任意 $ g in G $，$ g cdot x $ 是轨道中的一个元素。
因此，轨道的大小至少为 1，即 $ x $ 本身。而根据轨道稳定子群定理，轨道的大小等于群的大小除以稳定子群的大小，即：$$|text{Orb}_G(x)| = frac{|G|}{|text{Stab}_G(x)|}$$这表明，轨道的大小与稳定子群的大小成反比。进一步地，我们可以证明轨道的大小等于稳定子群的大小乘以轨道的长度，从而得到轨道稳定子群定理的结论。

轨道稳定子群定理的数学证明（进一步推导）

为了更深入地理解轨道稳定子群定理，我们可以从群作用的性质出发进行进一步推导。设 $ G $ 是一个群，$ X $ 是一个集合，$ G $ 作用于 $ X $ 上，即 $ G times X rightarrow X $，满足群作用的定义。对于任意 $ x in X $，我们考虑 $ G $ 的作用在 $ x $ 上的轨道 $ text{Orb}_G(x) $ 和稳定子群 $ text{Stab}_G(x) $。我们注意到，对于任意 $ g in G $，$ g cdot x in text{Orb}_G(x) $。
因此，轨道 $ text{Orb}_G(x) $ 是 $ G $ 作用于 $ x $ 上的所有元素的集合。而稳定子群 $ text{Stab}_G(x) $ 是所有保持 $ x $ 不变的元素的集合，即 $ text{Stab}_G(x) = { g in G mid g cdot x = x } $。我们考虑轨道的大小。对于任意 $ g in G $，$ g cdot x $ 是轨道中的一个元素。
因此，轨道的大小至少为 1，即 $ x $ 本身。而根据轨道稳定子群定理，轨道的大小等于群的大小除以稳定子群的大小，即：$$|text{Orb}_G(x)| = frac{|G|}{|text{Stab}_G(x)|}$$这表明，轨道的大小与稳定子群的大小成反比。进一步地，我们可以证明轨道的大小等于稳定子群的大小乘以轨道的长度，从而得到轨道稳定子群定理的结论。

轨道稳定子群定理的数学证明（进一步推导）

为了更深入地理解轨道稳定子群定理，我们可以从群作用的性质出发进行进一步推导。设 $ G $ 是一个群，$ X $ 是一个集合，$ G $ 作用于 $ X $ 上，即 $ G times X rightarrow X $，满足群作用的定义。对于任意 $ x in X $，我们考虑 $ G $ 的作用在 $ x $ 上的轨道 $ text{Orb}_G(x) $ 和稳定子群 $ text{Stab}_G(x) $。我们注意到，对于任意 $ g in G $，$ g cdot x in text{Orb}_G(x) $。
因此，轨道 $ text{Orb}_G(x) $ 是 $ G $ 作用于 $ x $ 上的所有元素的集合。而稳定子群 $ text{Stab}_G(x) $ 是所有保持 $ x $ 不变的元素的集合，即 $ text{Stab}_G(x) = { g in G mid g cdot x = x } $。我们考虑轨道的大小。对于任意 $ g in G $，$ g cdot x $ 是轨道中的一个元素。
因此，轨道的大小至少为 1，即 $ x $ 本身。而根据轨道稳定子群定理，轨道的大小等于群的大小除以稳定子群的大小，即：$$|text{Orb}_G(x)| = frac{|G|}{|text{Stab}_G(x)|}$$这表明，轨道的大小与稳定子群的大小成反比。进一步地，我们可以证明轨道的大小等于稳定子群的大小乘以轨道的长度，从而得到轨道稳定子群定理的结论。

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因此，轨道 $ text{Orb}_G(x) $ 是 $ G $ 作用于 $ x $ 上的所有元素的集合。而稳定子群 $ text{Stab}_G(x) $ 是所有保持 $ x $ 不变的元素的集合，即 $ text{Stab}_G(x) = { g in G mid g cdot x = x } $。我们考虑轨道的大小。对于任意 $ g in G $，$ g cdot x $ 是轨道中的一个元素。
因此，轨道的大小至少为 1，即 $ x $ 本身。而根据轨道稳定子群定理，轨道的大小等于群的大小除以稳定子群的大小，即：$$|text{Orb}_G(x)| = frac{|G|}{|text{Stab}_G(x)|}$$这表明，轨道的大小与稳定子群的大小成反比。进一步地，我们可以证明轨道的大小等于稳定子群的大小乘以轨道的长度，从而得到轨道稳定子群定理的结论。

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因此，轨道 $ text{Orb}_G(x) $ 是 $ G $ 作用于 $ x $ 上的所有元素的集合。而稳定子群 $ text{Stab}_G(x) $ 是所有保持 $ x $ 不变的元素的集合，即 $ text{Stab}_G(x) = { g in G mid g cdot x = x } $。我们考虑轨道的大小。对于任意 $ g in G $，$ g cdot x $ 是轨道中的一个元素。
因此，轨道的大小至少为 1，即 $ x $ 本身。而根据轨道稳定子群定理，轨道的大小等于群的大小除以稳定子群的大小，即：$$|text{Orb}_G(x)| = frac{|G|}{|text{Stab}_G(x)|}$$这表明，轨道的大小与稳定子群的大小成反比。进一步地，我们可以证明轨道的大小等于稳定子群的大小乘以轨道的长度，从而得到轨道稳定子群定理的结论。

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因此，轨道 $ text{Orb}_G(x) $ 是 $ G $ 作用于 $ x $ 上的所有元素的集合。而稳定子群 $ text{Stab}_G(x) $ 是所有保持 $ x $ 不变的元素的集合，即 $ text{Stab}_G(x) = { g in G mid g cdot x = x } $。我们考虑轨道的大小。对于任意 $ g in G $，$ g cdot x $ 是轨道中的一个元素。
因此，轨道的大小至少为 1，即 $ x $ 本身。而根据轨道稳定子群定理，轨道的大小等于群的大小除以稳定子群的大小，即：$$|text{Orb}_G(x)| = frac{|G|}{|text{Stab}_G(x)|}$$这表明，轨道的大小与稳定子群的大小成反比。进一步地，我们可以证明轨道的大小等于稳定子群的大小乘以轨道的长度，从而得到轨道稳定子群定理的结论。

轨道稳定子群定理的数学证明（进一步推导）

为了更深入地理解轨道稳定子群定理，我们可以从群作用的性质出发进行进一步推导。设 $ G $ 是一个群，$ X $ 是一个集合，$ G $ 作用于 $ X $ 上，即 $ G times X rightarrow X $，满足群作用的定义。对于任意 $ x in X $，我们考虑 $ G $ 的作用在 $ x $ 上的轨道 $ text{Orb}_G(x) $ 和稳定子群 $ text{Stab}_G(x) $。我们注意到，对于任意 $ g in G $，$ g cdot x in text{Orb}_G(x) $。
因此，轨道 $ text{Orb}_G(x) $ 是 $ G $ 作用于 $ x $ 上的所有元素的集合。而稳定子群 $ text{Stab}_G(x) $ 是所有保持 $ x $ 不变的元素的集合，即 $ text{Stab}_G(x) = { g in G mid g cdot x = x } $。我们考虑轨道的大小。对于任意 $ g in G $，$ g cdot x $ 是轨道中的一个元素。
因此，轨道的大小至少为 1，即 $ x $ 本身。而根据轨道稳定子群定理，轨道的大小等于群的大小除以稳定子群的大小，即：$$|text{Orb}_G(x)| = frac{|G|}{|text{Stab}_G(x)|}$$这表明，轨道的大小与稳定子群的大小成反比。进一步地，我们可以证明轨道的大小等于稳定子群的大小乘以轨道的长度，从而得到轨道稳定子群定理的结论。

轨道稳定子群定理的数学证明（进一步推导）

为了更深入地理解轨道稳定子群定理，我们可以从群作用的性质出发进行进一步推导。设 $ G $ 是一个群，$ X $ 是一个集合，$ G $ 作用于 $ X $ 上，即 $ G times X rightarrow X $，满足群作用的定义。对于任意 $ x in X $，我们考虑 $ G $ 的作用在 $ x $ 上的轨道 $ text{Orb}_G(x) $ 和稳定子群 $ text{Stab}_G(x) $。我们注意到，对于任意 $ g in G $，$ g cdot x in text{Orb}_G(x) $。
因此，轨道 $ text{Orb}_G(x) $ 是 $ G $ 作用于 $ x $ 上的所有元素的集合。而稳定子群 $ text{Stab}_G(x) $ 是所有保持 $ x $ 不变的元素