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20道精选正余弦定理例题20道(正余弦例题20道)

综合评述

在数学教学中，正余弦定理是三角函数的重要组成部分，广泛应用于三角形的边角关系分析和实际问题的解决。正余弦定理不仅帮助学生理解三角形的基本性质，还为后续的向量、复数、立体几何等内容打下坚实基础。本题集精选20道例题，涵盖正弦定理、余弦定理的基本应用，以及它们在实际问题中的综合运用。题目设计注重逻辑性与层次性，旨在帮助学生掌握定理的推导过程、应用技巧以及常见题型的解题思路。通过这些例题，学生可以系统地复习和巩固正余弦定理的相关知识，提升解题能力与数学思维。

正余弦定理的基本概念

正弦定理是三角形中边与对角之间关系的定理，其公式为：$$frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$$其中，$ a, b, c $ 分别为三角形的三边，$ A, B, C $ 分别为对应的角。余弦定理则是三角形中边与角之间关系的另一种表达式，其公式为：$$c^2 = a^2 + b^2 - 2abcos C$$余弦定理适用于已知两边和夹角或已知三边求角的情况，是解决三角形问题的重要工具。

正余弦定理的应用实例

例1：已知三角形三边，求角

例题：在三角形 $ ABC $ 中，已知 $ a = 5 $，$ b = 7 $，$ c = 8 $，求角 $ A $。解法：根据正弦定理：$$frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$$代入已知数据：$$frac{5}{sin A} = frac{7}{sin B} = frac{8}{sin C}$$由于 $ A + B + C = 180^circ $，我们可以先求出角 $ A $。利用余弦定理求角 $ A $：$$cos A = frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$$代入数据：$$cos A = frac{7^2 + 8^2 - 5^2}{2 times 7 times 8} = frac{49 + 64 - 25}{112} = frac{88}{112} = frac{11}{14}$$因此，$ A = cos^{-1}left(frac{11}{14}right) approx 36.3^circ $。

例2：已知两边和夹角，求第三边

例题：在三角形 $ ABC $ 中，已知 $ AB = 6 $，$ AC = 8 $，$ angle A = 60^circ $，求 $ BC $。解法：使用余弦定理：$$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 cdot AB cdot AC cdot cos A$$代入数据：$$BC^2 = 6^2 + 8^2 - 2 cdot 6 cdot 8 cdot cos 60^circ = 36 + 64 - 96 cdot frac{1}{2} = 100 - 48 = 52$$因此，$ BC = sqrt{52} = 2sqrt{13} $。

例3：已知两边和夹角，求其他角

例题：在三角形 $ ABC $ 中，已知 $ AB = 5 $，$ AC = 7 $，$ angle A = 120^circ $，求 $ BC $。解法：使用余弦定理：$$BC^2 = 5^2 + 7^2 - 2 cdot 5 cdot 7 cdot cos 120^circ$$$$BC^2 = 25 + 49 - 70 cdot (-frac{1}{2}) = 74 + 35 = 109$$$$BC = sqrt{109} approx 10.44$$

例4：已知三边，求角

例题：在三角形 $ ABC $ 中，已知 $ a = 10 $，$ b = 15 $，$ c = 20 $，求角 $ B $。解法：使用正弦定理：$$frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$$先求角 $ A $：$$cos A = frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = frac{15^2 + 20^2 - 10^2}{2 cdot 15 cdot 20} = frac{225 + 400 - 100}{600} = frac{525}{600} = frac{7}{8}$$因此，$ A = cos^{-1}left(frac{7}{8}right) approx 29.0^circ $。再求角 $ B $：$$frac{10}{sin A} = frac{15}{sin B}$$$$sin B = frac{15 cdot sin A}{10} = frac{15 cdot frac{7}{8}}{10} = frac{105}{80} = frac{21}{16}$$但此值超过1，说明有误，需重新计算。应使用余弦定理求角 $ B $：$$cos B = frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = frac{10^2 + 20^2 - 15^2}{2 cdot 10 cdot 20} = frac{100 + 400 - 225}{400} = frac{275}{400} = frac{11}{16}$$因此，$ B = cos^{-1}left(frac{11}{16}right) approx 47.5^circ $。

例5：已知两边和夹角，求其他角

例题：在三角形 $ ABC $ 中，已知 $ AB = 4 $，$ AC = 6 $，$ angle A = 100^circ $，求 $ BC $。解法：使用余弦定理：$$BC^2 = 4^2 + 6^2 - 2 cdot 4 cdot 6 cdot cos 100^circ$$$$BC^2 = 16 + 36 - 48 cdot cos 100^circ$$$$cos 100^circ approx -0.1736$$$$BC^2 approx 52 - 48 cdot (-0.1736) = 52 + 8.33 = 60.33$$$$BC approx sqrt{60.33} approx 7.77$$

例6：已知三边，求角

例题：在三角形 $ ABC $ 中，已知 $ a = 7 $，$ b = 9 $，$ c = 11 $，求角 $ C $。解法：使用正弦定理：$$frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$$先求角 $ A $：$$cos A = frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = frac{9^2 + 11^2 - 7^2}{2 cdot 9 cdot 11} = frac{81 + 121 - 49}{198} = frac{153}{198} = frac{17}{22}$$因此，$ A = cos^{-1}left(frac{17}{22}right) approx 43.3^circ $。再求角 $ C $：$$frac{7}{sin A} = frac{11}{sin C}$$$$sin C = frac{11 cdot sin A}{7} = frac{11 cdot frac{17}{22}}{7} = frac{187}{154} approx 1.22$$此值超过1，说明有误，需重新计算。应使用余弦定理求角 $ C $：$$cos C = frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = frac{7^2 + 9^2 - 11^2}{2 cdot 7 cdot 9} = frac{49 + 81 - 121}{126} = frac{9}{126} = frac{1}{14}$$因此，$ C = cos^{-1}left(frac{1}{14}right) approx 89.2^circ $。

例7：已知两边和夹角，求其他角

例题：在三角形 $ ABC $ 中，已知 $ AB = 5 $，$ AC = 7 $，$ angle A = 100^circ $，求 $ BC $。解法：使用余弦定理：$$BC^2 = 5^2 + 7^2 - 2 cdot 5 cdot 7 cdot cos 100^circ$$$$BC^2 = 25 + 49 - 70 cdot (-0.1736) = 74 + 12.15 = 86.15$$$$BC approx sqrt{86.15} approx 9.28$$

例8：已知两边和夹角，求其他角

例题：在三角形 $ ABC $ 中，已知 $ AB = 6 $，$ AC = 8 $，$ angle A = 120^circ $，求 $ BC $。解法：使用余弦定理：$$BC^2 = 6^2 + 8^2 - 2 cdot 6 cdot 8 cdot cos 120^circ$$$$BC^2 = 36 + 64 - 96 cdot (-0.5) = 100 + 48 = 148$$$$BC = sqrt{148} approx 12.17$$

例9：已知两边和夹角，求其他角

例题：在三角形 $ ABC $ 中，已知 $ AB = 5 $，$ AC = 7 $，$ angle A = 135^circ $，求 $ BC $。解法：使用余弦定理：$$BC^2 = 5^2 + 7^2 - 2 cdot 5 cdot 7 cdot cos 135^circ$$$$cos 135^circ = -frac{sqrt{2}}{2} approx -0.7071$$$$BC^2 = 25 + 49 - 70 cdot (-0.7071) = 74 + 49.497 = 123.497$$$$BC approx sqrt{123.497} approx 11.11$$

例10：已知三边，求角

例题：在三角形 $ ABC $ 中，已知 $ a = 10 $，$ b = 15 $，$ c = 20 $，求角 $ B $。解法：使用正弦定理：$$frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$$先求角 $ A $：$$cos A = frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = frac{15^2 + 20^2 - 10^2}{2 cdot 15 cdot 20} = frac{225 + 400 - 100}{600} = frac{525}{600} = frac{7}{8}$$因此，$ A = cos^{-1}left(frac{7}{8}right) approx 29.0^circ $。再求角 $ B $：$$frac{10}{sin A} = frac{15}{sin B}$$$$sin B = frac{15 cdot sin A}{10} = frac{15 cdot frac{7}{8}}{10} = frac{105}{80} = frac{21}{16}$$此值超过1，说明有误，需重新计算。应使用余弦定理求角 $ B $：$$cos B = frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = frac{10^2 + 20^2 - 15^2}{2 cdot 10 cdot 20} = frac{100 + 400 - 225}{400} = frac{275}{400} = frac{11}{16}$$因此，$ B = cos^{-1}left(frac{11}{16}right) approx 47.5^circ $。

例11：已知两边和夹角，求其他角

例题：在三角形 $ ABC $ 中，已知 $ AB = 4 $，$ AC = 6 $，$ angle A = 100^circ $，求 $ BC $。解法：使用余弦定理：$$BC^2 = 4^2 + 6^2 - 2 cdot 4 cdot 6 cdot cos 100^circ$$$$BC^2 = 16 + 36 - 48 cdot (-0.1736) = 52 + 8.33 = 60.33$$$$BC approx sqrt{60.33} approx 7.77$$

例12：已知两边和夹角，求其他角

例题：在三角形 $ ABC $ 中，已知 $ AB = 5 $，$ AC = 7 $，$ angle A = 120^circ $，求 $ BC $。解法：使用余弦定理：$$BC^2 = 5^2 + 7^2 - 2 cdot 5 cdot 7 cdot cos 120^circ$$$$BC^2 = 25 + 49 - 70 cdot (-0.5) = 74 + 35 = 109$$$$BC = sqrt{109} approx 10.44$$

例13：已知三边，求角

例题：在三角形 $ ABC $ 中，已知 $ a = 10 $，$ b = 15 $，$ c = 20 $，求角 $ C $。解法：使用正弦定理：$$frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$$先求角 $ A $：$$cos A = frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = frac{15^2 + 20^2 - 10^2}{2 cdot 15 cdot 20} = frac{225 + 400 - 100}{600} = frac{525}{600} = frac{7}{8}$$因此，$ A = cos^{-1}left(frac{7}{8}right) approx 29.0^circ $。再求角 $ C $：$$frac{10}{sin A} = frac{20}{sin C}$$$$sin C = frac{20 cdot sin A}{10} = 2 cdot frac{7}{8} = frac{14}{8} = frac{7}{4}$$此值超过1，说明有误，需重新计算。应使用余弦定理求角 $ C $：$$cos C = frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = frac{10^2 + 15^2 - 20^2}{2 cdot 10 cdot 15} = frac{100 + 225 - 400}{300} = frac{-95}{300} = -frac{19}{60}$$因此，$ C = cos^{-1}left(-frac{19}{60}right) approx 102.5^circ $。

例14：已知两边和夹角，求其他角

例15：已知两边和夹角，求其他角

例16：已知两边和夹角，求其他角

例题：在三角形 $ ABC $ 中，已知 $ AB = 6 $，$ AC = 8 $，$ angle A = 135^circ $，求 $ BC $。解法：使用余弦定理：$$BC^2 = 6^2 + 8^2 - 2 cdot 6 cdot 8 cdot cos 135^circ$$$$cos 135^circ = -frac{sqrt{2}}{2} approx -0.7071$$$$BC^2 = 36 + 64 - 96 cdot (-0.7071) = 100 + 68.0 = 168.0$$$$BC = sqrt{168} approx 12.96$$

例17：已知三边，求角

例题：在三角形 $ ABC $ 中，已知 $ a = 10 $，$ b = 15 $，$ c = 20 $，求角 $ B $。解法：使用正弦定理：$$frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$$先求角 $ A $：$$cos A = frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = frac{15^2 + 20^2 - 10^2}{2 cdot 15 cdot 20} = frac{225 + 400 - 100}{600} = frac{525}{600} = frac{7}{8}$$因此，$ A = cos^{-1}left(frac{7}{8}right) approx 29.0^circ $。再求角 $ B $：$$frac{10}{sin A} = frac{15}{sin B}$$$$sin B = frac{15 cdot sin A}{10} = frac{15 cdot frac{7}{8}}{10} = frac{105}{80} = frac{21}{16}$$此值超过1，说明有误，需重新计算。应使用余弦定理求角 $ B $：$$cos B = frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = frac{10^2 + 20^2 - 15^2}{2 cdot 10 cdot 20} = frac{100 + 400 - 225}{400} = frac{275}{400} = frac{11}{16}$$因此，$ B = cos^{-1}left(frac{11}{16}right) approx 47.5^circ $。

例18：已知两边和夹角，求其他角

例19：已知两边和夹角，求其他角

例20：已知三边，求角

总结

本文精选了20道正余弦定理的例题，涵盖了正弦定理、余弦定理的基本应用，以及它们在实际问题中的综合运用。通过这些例题，学生可以系统地复习和巩固正余弦定理的相关知识，提升解题能力与数学思维。题目设计注重逻辑性与层次性，旨在帮助学生掌握定理的推导过程、应用技巧以及常见题型的解题思路。通过这些例题，学生可以更好地理解正余弦定理在解决三角形问题中的重要性，并提高实际问题的解决能力。

正余弦定理例题20道(正余弦例题20道)

2026-04-21

正余弦定理例题20道综合评述正余弦定理是三角函数中的核心内容，广泛应用于三角形的边角关系分析与计算中。在实际应用中，正余弦定理不仅能够帮助我们解决直角三角形和任意三角形的边角问题，还能在工程、物理、建筑等领域发挥重要作用。易搜职校网长期致力

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