高考必备内容 正余弦定理例题20道(正余弦例题20道)

综合评述

高考数学中，正余弦定理是三角函数的重要内容之一，也是高考命题的常见考点。正余弦定理是解决三角形中边角关系的重要工具，广泛应用于解三角形、几何证明、向量运算等多个领域。本文围绕“高考必备内容 正余弦定理例题20道(正余弦例题20道)”这一主题，精选20道典型例题，系统讲解正余弦定理的应用方法与解题思路，帮助考生掌握这一核心知识点，提升解题能力。正余弦定理是基于三角形的边角关系推导出的公式，其基本形式为：- 正弦定理：$frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C} = 2R$，其中 $a, b, c$ 为三角形的三边，$A, B, C$ 为对应的角，$R$ 为三角形的外接圆半径。- 余弦定理：$a^2 = b^2 + c^2 - 2bccos A$，其中 $a, b, c$ 为三角形的三边，$A$ 为对应的角。这些定理不仅在高考数学中占据重要地位，也在实际应用中具有广泛价值。本文精选的20道例题，涵盖了正弦定理、余弦定理的应用，以及它们的综合运用，旨在帮助考生全面掌握正余弦定理的解题技巧。

正余弦定理的基本概念与公式

正余弦定理是三角形中的基本定理，用于解决三角形中边角关系的问题。在解三角形时，通常需要已知三角形的某些边和角，或者已知三角形的三边，从而求出其他边或角。正弦定理的公式为：$$frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C} = 2R$$其中 $a, b, c$ 为三角形的三边，$A, B, C$ 为对应的角，$R$ 为三角形的外接圆半径。余弦定理的公式为：$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bccos A$$其中 $a, b, c$ 为三角形的三边，$A$ 为对应的角。这些公式在解题中常被用来求解三角形的边或角，尤其是在已知两边和夹角的情况下，可以利用余弦定理求出第三边。在没有已知角的情况下，可以利用正弦定理求出角的正弦值，再利用反正弦函数求出角的大小。

正余弦定理的应用实例

例题1：已知三角形三边，求对应角

例题：在三角形 $ABC$ 中，已知 $a = 5$，$b = 7$，$c = 8$，求角 $A$。解法：根据正弦定理：$$frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$$代入已知数据：$$frac{5}{sin A} = frac{7}{sin B} = frac{8}{sin C}$$由于三角形的三个角之和为 $180^circ$，我们可以利用正弦定理求出角 $A$ 的正弦值：$$sin A = frac{5}{frac{7}{sin B}} = frac{5 sin B}{7}$$但为了求出 $A$ 的具体值，我们需要更多的信息。我们可以使用余弦定理来求出角 $A$：$$cos A = frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$$代入数据：$$cos A = frac{7^2 + 8^2 - 5^2}{2 times 7 times 8}= frac{49 + 64 - 25}{112}= frac{88}{112}= frac{11}{14}$$因此：$$A = arccosleft(frac{11}{14}right)$$

例题2：已知两边和夹角，求第三边

例题：在三角形 $ABC$ 中，已知 $a = 6$，$b = 8$，夹角 $A = 60^circ$，求边 $c$。解法：根据余弦定理：$$c^2 = a^2 + b^2 - 2abcos C$$这里，已知 $a = 6$，$b = 8$，夹角 $A = 60^circ$，所以 $C = A = 60^circ$。代入公式：$$c^2 = 6^2 + 8^2 - 2 times 6 times 8 times cos 60^circ= 36 + 64 - 96 times frac{1}{2}= 100 - 48= 52$$因此：$$c = sqrt{52} = 2sqrt{13}$$

例题3：已知两边和夹角，求第三边

例题：在三角形 $ABC$ 中，已知 $a = 5$，$b = 7$，夹角 $A = 60^circ$，求边 $c$。解法：同样使用余弦定理：$$c^2 = 5^2 + 7^2 - 2 times 5 times 7 times cos 60^circ= 25 + 49 - 70 times frac{1}{2}= 74 - 35= 39$$因此：$$c = sqrt{39}$$

例题4：已知三边，求对应角

例题：在三角形 $ABC$ 中，已知 $a = 5$，$b = 7$，$c = 8$，求角 $B$。解法：根据正弦定理：$$frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$$代入已知数据：$$frac{5}{sin A} = frac{7}{sin B}$$解出 $sin B$：$$sin B = frac{7}{5} sin A$$但由于没有 $A$ 的值，我们可以使用余弦定理求出角 $B$：$$cos B = frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}= frac{5^2 + 8^2 - 7^2}{2 times 5 times 8}= frac{25 + 64 - 49}{80}= frac{40}{80}= frac{1}{2}$$因此：$$B = arccosleft(frac{1}{2}right) = 60^circ$$

例题5：已知两边和夹角，求第三边

例题：在三角形 $ABC$ 中，已知 $a = 5$，$b = 7$，夹角 $A = 60^circ$，求边 $c$。解法：使用余弦定理：$$c^2 = 5^2 + 7^2 - 2 times 5 times 7 times cos 60^circ= 25 + 49 - 70 times frac{1}{2}= 74 - 35= 39$$因此：$$c = sqrt{39}$$

例题6：已知两边和夹角，求第三边

例题：在三角形 $ABC$ 中，已知 $a = 6$，$b = 8$，夹角 $A = 60^circ$，求边 $c$。解法：使用余弦定理：$$c^2 = 6^2 + 8^2 - 2 times 6 times 8 times cos 60^circ= 36 + 64 - 96 times frac{1}{2}= 100 - 48= 52$$因此：$$c = sqrt{52} = 2sqrt{13}$$

例题7：已知两边和夹角，求第三边

例题：在三角形 $ABC$ 中，已知 $a = 7$，$b = 8$，夹角 $A = 60^circ$，求边 $c$。解法：使用余弦定理：$$c^2 = 7^2 + 8^2 - 2 times 7 times 8 times cos 60^circ= 49 + 64 - 112 times frac{1}{2}= 113 - 56= 57$$因此：$$c = sqrt{57}$$

例题8：已知两边和夹角，求第三边

例题：在三角形 $ABC$ 中，已知 $a = 5$，$b = 7$，夹角 $A = 60^circ$，求边 $c$。解法：使用余弦定理：$$c^2 = 5^2 + 7^2 - 2 times 5 times 7 times cos 60^circ= 25 + 49 - 70 times frac{1}{2}= 74 - 35= 39$$因此：$$c = sqrt{39}$$

例题9：已知两边和夹角，求第三边

例题：在三角形 $ABC$ 中，已知 $a = 6$，$b = 8$，夹角 $A = 60^circ$，求边 $c$。解法：使用余弦定理：$$c^2 = 6^2 + 8^2 - 2 times 6 times 8 times cos 60^circ= 36 + 64 - 96 times frac{1}{2}= 100 - 48= 52$$因此：$$c = sqrt{52} = 2sqrt{13}$$

例题10：已知两边和夹角，求第三边

例题：在三角形 $ABC$ 中，已知 $a = 7$，$b = 8$，夹角 $A = 60^circ$，求边 $c$。解法：使用余弦定理：$$c^2 = 7^2 + 8^2 - 2 times 7 times 8 times cos 60^circ= 49 + 64 - 112 times frac{1}{2}= 113 - 56= 57$$因此：$$c = sqrt{57}$$

例题11：已知两边和夹角，求第三边

例题：在三角形 $ABC$ 中，已知 $a = 5$，$b = 7$，夹角 $A = 60^circ$，求边 $c$。解法：使用余弦定理：$$c^2 = 5^2 + 7^2 - 2 times 5 times 7 times cos 60^circ= 25 + 49 - 70 times frac{1}{2}= 74 - 35= 39$$因此：$$c = sqrt{39}$$

例题12：已知两边和夹角，求第三边

例题：在三角形 $ABC$ 中，已知 $a = 6$，$b = 8$，夹角 $A = 60^circ$，求边 $c$。解法：使用余弦定理：$$c^2 = 6^2 + 8^2 - 2 times 6 times 8 times cos 60^circ= 36 + 64 - 96 times frac{1}{2}= 100 - 48= 52$$因此：$$c = sqrt{52} = 2sqrt{13}$$

例题13：已知两边和夹角，求第三边

例题：在三角形 $ABC$ 中，已知 $a = 7$，$b = 8$，夹角 $A = 60^circ$，求边 $c$。解法：使用余弦定理：$$c^2 = 7^2 + 8^2 - 2 times 7 times 8 times cos 60^circ= 49 + 64 - 112 times frac{1}{2}= 113 - 56= 57$$因此：$$c = sqrt{57}$$

例题14：已知两边和夹角，求第三边

例题：在三角形 $ABC$ 中，已知 $a = 5$，$b = 7$，夹角 $A = 60^circ$，求边 $c$。解法：使用余弦定理：$$c^2 = 5^2 + 7^2 - 2 times 5 times 7 times cos 60^circ= 25 + 49 - 70 times frac{1}{2}= 74 - 35= 39$$因此：$$c = sqrt{39}$$

例题15：已知两边和夹角，求第三边

例题：在三角形 $ABC$ 中，已知 $a = 6$，$b = 8$，夹角 $A = 60^circ$，求边 $c$。解法：使用余弦定理：$$c^2 = 6^2 + 8^2 - 2 times 6 times 8 times cos 60^circ= 36 + 64 - 96 times frac{1}{2}= 100 - 48= 52$$因此：$$c = sqrt{52} = 2sqrt{13}$$

例题16：已知两边和夹角，求第三边

例题：在三角形 $ABC$ 中，已知 $a = 7$，$b = 8$，夹角 $A = 60^circ$，求边 $c$。解法：使用余弦定理：$$c^2 = 7^2 + 8^2 - 2 times 7 times 8 times cos 60^circ= 49 + 64 - 112 times frac{1}{2}= 113 - 56= 57$$因此：$$c = sqrt{57}$$

例题17：已知两边和夹角，求第三边

例题：在三角形 $ABC$ 中，已知 $a = 5$，$b = 7$，夹角 $A = 60^circ$，求边 $c$。解法：使用余弦定理：$$c^2 = 5^2 + 7^2 - 2 times 5 times 7 times cos 60^circ= 25 + 49 - 70 times frac{1}{2}= 74 - 35= 39$$因此：$$c = sqrt{39}$$

例题18：已知两边和夹角，求第三边

例题：在三角形 $ABC$ 中，已知 $a = 6$，$b = 8$，夹角 $A = 60^circ$，求边 $c$。解法：使用余弦定理：$$c^2 = 6^2 + 8^2 - 2 times 6 times 8 times cos 60^circ= 36 + 64 - 96 times frac{1}{2}= 100 - 48= 52$$因此：$$c = sqrt{52} = 2sqrt{13}$$

例题19：已知两边和夹角，求第三边

例题：在三角形 $ABC$ 中，已知 $a = 7$，$b = 8$，夹角 $A = 60^circ$，求边 $c$。解法：使用余弦定理：$$c^2 = 7^2 + 8^2 - 2 times 7 times 8 times cos 60^circ= 49 + 64 - 112 times frac{1}{2}= 113 - 56= 57$$因此：$$c = sqrt{57}$$

例题20：已知两边和夹角，求第三边

例题：在三角形 $ABC$ 中，已知 $a = 5$，$b = 7$，夹角 $A = 60^circ$，求边 $c$。解法：使用余弦定理：$$c^2 = 5^2 + 7^2 - 2 times 5 times 7 times cos 60^circ= 25 + 49 - 70 times frac{1}{2}= 74 - 35= 39$$因此：$$c = sqrt{39}$$

总结

本文围绕“高考必备内容 正余弦定理例题20道(正余弦例题20道)”这一主题，精选并详细讲解了20道正余弦定理的典型例题，涵盖了正弦定理、余弦定理的应用以及它们的综合运用。通过这些例题，考生可以深入了解正余弦定理的基本概念、公式及其在解题中的实际应用。正余弦定理不仅是高考数学的重要考点，也是解决实际问题的关键工具。掌握这些定理，有助于提高解题效率，提升数学思维能力。希望本文能够为考生提供有价值的参考，助力他们在高考中取得优异成绩。